Seja f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 e^{-2 x} & x \geq 0 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{array}\right. uma f.d.p.
a) Determine E(X) . \quad 0,5
b) Determine \operatorname{VAR}(X) e \operatorname{DP(X).} 0,25 e 0,5
Ao tomar x\to\infty os termos com e^{-2x} vão a 0. Em x=0 o valor é -\tfrac{1}{4}. Assim
I=0 - \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)=\tfrac{1}{4}.
Portanto
\mathbb{E}(X)=2\cdot I = 2\cdot \tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Passo 4
Interpretação curta: a esperança encontrada é \mathbb{E}(X)=\tfrac{1}{2} (ou seja, 0,5 nas notações decimais com vírgula). Para referência, isso coincide com a fórmula geral da distribuição exponencial com parâmetro \lambda: \mathbb{E}(X)=1/\lambda. Aqui \lambda=2, então 1/\lambda=\tfrac{1}{2}.
Resumo final (também útil como verificação): para uma exponencial com taxa \lambda vale \mathbb{E}(X)=1/\lambda, \operatorname{Var}(X)=1/\lambda^{2}. Com \lambda=2 obtém-se \mathbb{E}(X)=\tfrac{1}{2}, \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{4} e \operatorname{DP}(X)=\tfrac{1}{2}. Força aí — você já tem os cálculos prontos pra prova!