Seja A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 2 & -1\end{array}\right).
a) Encontre os autovalores de A. (vale 0,5)
b) Encontre uma base para cada autoespaço de A. (vale 1,0)
c) Encontre P \in M_{3 \times 3} inversível e D \in M_{3 \times 3} diagonal tais que A=P D P^{-1}. (vale 1,0)
(c) encontrar P inversível e D diagonal tais que A=P D P^{-1}.
Observações importantes (apenas listando o que o enunciado diz): o enunciado pede P\in M_{3\times 3} e D\in M_{3\times3}, mas a matriz A fornecida é 2\times2. Vou interpretar que a intenção correta é diagonalizar A como matrizes 2\times2, ou seja, buscar P\in M_{2\times2} inversível e D\in M_{2\times2} diagonal com A=PDP^{-1}. Vou proceder com essa interpretação.]
Passo 2
Conceito e método (aula rápida antes de calcular). Para encontrar autovalores usamos a definição: um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v,
o que é equivalente a
(A-\lambda I)v=0.
Existem vetores não-nulos v que satisfazem isso exatamente quando \det(A-\lambda I)=0. Portanto os autovalores são as raízes do polinômio característico
p(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Vou calcular esse determinante explicitamente e resolver a equação polinomial resultante.
Passo 3
Calcular o polinômio característico. Escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}-1-\lambda & 2 \\[4pt] 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
Interpretação e resultado da parte (a). Concluímos que os autovalores de A são
\lambda=1\quad\text{e}\quad \lambda=-3.
Agora, para cada autovalor vamos encontrar o autoespaço correspondente (parte (b)). O autoespaço associado a \lambda é o conjunto de vetores solução de (A-\lambda I)v=0. Vou resolver cada sistema linear.
Assim os vetores do autoespaço são todos da forma (x,x)^{T}=x(1,1)^{T}\] com \(x\neq 0 para vetores próprios. Portanto uma base de autovetores para \lambda=1 é o conjunto formado por um vetor não-nulo que gera esse espaço, por exemplo
\{(1,1)^{T}\}.
Expliquei: tomamos uma solução livre x e escrevemos vetores escalares múltiplos do gerador.]
Isto dá a única condição 2x+2y=0\], ou seja
\[x+y=0\quad\Longrightarrow\quad y=-x.\]
Assim os vetores próprios têm a forma \((x,-x)^{T}=x(1,-1)^{T}. Uma base do autoespaço correspondente a \lambda=-3 é, por exemplo,
\{(1,-1)^{T}\}.]
Passo 7
Conclusão sobre diagonalizabilidade e escolha de P e D (parte (c), aula e cálculo). Uma matriz 2\times2 é diagonalizável se existir uma base de \mathbb{R}^2 (ou do espaço considerado) formada por autovetores. Aqui encontramos dois autovetores linearmente independentes (1,1)^{T} e (1,-1)^{T}. Logo A é diagonalizável.
O procedimento padrão para obter P e D é:
montar P com colunas sendo autovetores linearmente independentes;
montar D com os autovalores na diagonal, na mesma ordem das colunas de P.
Vou escolher a ordem: primeira coluna o autovetor de \lambda=1, segunda coluna o autovetor de \lambda=-3. Assim