Sejam
uma reta e
um ponto não pertencente a
. O ponto simétrico do ponto
em relação à reta
é o ponto
tal que
é a mediatriz do segmento
.
Determine o valor de
sabendo que o simétrico do ponto
em relaçāo a reta
é o ponto
.
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A reta
tem equação , onde é o número desconhecido que queremos determinar. - O ponto
é . - O ponto simétrico de
em relação à reta é . - Por definição, "a reta
é a mediatriz do segmento " significa que é a mediatriz perpendicular de : isto é, corta o segmento no ponto médio de e é perpendicular a .
O que o problema pede: determinar o valor de
sabendo tudo isso.
Passo 2
Vamos usar a propriedade de mediatriz: a reta
passa pelo ponto médio
do segmento
. Primeiro calculamos as coordenadas do ponto médio
.
Regra do ponto médio: se dois pontos são
e
, o ponto médio
tem coordenadas
Aplicando aos pontos
e
:
Logo
Passo 3
Como
pertence à reta
e esta tem equação
, as coordenadas de
satisfazem essa equação. Substituindo:
Substituindo os valores que achamos:
Isolando
:
Passo 4
Para fixar a intuição (e checar que faz sentido), explico também a condição de perpendicularidade: se a reta
é mediatriz perpendicular de
, então a inclinação (declive) de
deve ser o negativo do recíproco da inclinação de
. Em termos de declives, se a inclinação de
é
, a inclinação de
deve ser
.
Calculamos o declive da reta que passa por
e
:
Se
, o negativo do recíproco é
, exatamente igual a
. Portanto a condição de perpendicularidade também é satisfeita, consistindo com
ser a mediatriz perpendicular de
.