Sejam r uma reta e A um ponto não pertencente a r. O ponto simétrico do ponto A em relação à reta r é o ponto A^{\prime} tal que r é a mediatriz do segmento A A^{\prime}.
Determine o valor de \underline{a} sabendo que o simétrico do ponto A=(2,1) em relaçāo a reta r: y=a x é o ponto A^{\prime}=(-1,2).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A reta r tem equação y=ax, onde a é o número desconhecido que queremos determinar.
  • O ponto A é A=(2,1).
  • O ponto simétrico de A em relação à reta r é A' = (-1,2).
  • Por definição, "a reta r é a mediatriz do segmento AA'" significa que r é a mediatriz perpendicular de AA': isto é, r corta o segmento AA' no ponto médio de AA' e é perpendicular a AA'.
O que o problema pede: determinar o valor de a sabendo tudo isso.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de mediatriz: a reta r passa pelo ponto médio M do segmento AA'. Primeiro calculamos as coordenadas do ponto médio M.
Regra do ponto médio: se dois pontos são P_1=(x_1,y_1) e P_2=(x_2,y_2), o ponto médio M tem coordenadas
M=\Big(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\Big).
Aplicando aos pontos A=(2,1) e A'=(-1,2):
M_x=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2},\qquad M_y=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}.
Logo
M=\Big(\frac{1}{2},\;\frac{3}{2}\Big).

Passo 3

Como M pertence à reta r e esta tem equação y=ax, as coordenadas de M satisfazem essa equação. Substituindo:
M_y = a\cdot M_x.
Substituindo os valores que achamos:
\frac{3}{2}=a\cdot\frac{1}{2}.
Isolando a:
a=\frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{2}}=3.

Passo 4

Para fixar a intuição (e checar que faz sentido), explico também a condição de perpendicularidade: se a reta r é mediatriz perpendicular de AA', então a inclinação (declive) de AA' deve ser o negativo do recíproco da inclinação de r. Em termos de declives, se a inclinação de r é a, a inclinação de AA' deve ser -\dfrac{1}{a}.
Calculamos o declive da reta que passa por A e A':
m_{AA'}=\frac{y_{A'}-y_A}{x_{A'}-x_A}=\frac{2-1}{-1-2}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}.
Se a=3, o negativo do recíproco é -\dfrac{1}{3}, exatamente igual a m_{AA'}. Portanto a condição de perpendicularidade também é satisfeita, consistindo com r ser a mediatriz perpendicular de AA'.

Resposta

3

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