Sejam
uma reta e
um ponto não pertencente a
. O ponto simétrico do ponto
em relação à reta
é o ponto
tal que
é a mediatriz do segmento
.
Encontre o ponto simétrico de
em relação à reta
:
.
Encontre o ponto simétrico de
Passo 1
O enunciado dá:
- O ponto
. - A reta
cuja equação é .
O que se pede: - Encontrar o ponto simétrico
de em relação à reta , sabendo que é a mediatriz do segmento .
Observações importantes (extraídas da definição de mediatriz, sem ainda resolver):
- Se
é a mediatriz de , então passa pelo ponto médio do segmento . - Além disso,
é perpendicular ao segmento .
Essas duas propriedades vão guiar a construção do ponto.
Passo 2
Encontrar a equação da reta perpendicular a
que passa por
.
A reta tem coeficiente angular (inclinação)
porque sua equação é
. A inclinação de uma reta perpendicular a uma reta de inclinação
é
. Assim a inclinação da reta perpendicular é
A reta
A equação da reta que passa por
e tem inclinação
é, na forma ponto-ângulo,
Passo 3
Determinar o ponto de interseção
entre a reta
e a perpendicular encontrada — esse ponto é o pé da perpendicular de
sobre
e será o ponto médio de
.
As duas equações são
e
Isolando a segunda:
Igualando as duas expressões para
:
Somando
aos dois lados:
Calculando os lados:
Logo
Substituindo em
:
Portanto o pé da perpendicular (e ponto médio) é
Passo 4
Usar o fato de que
Isolando
:
Substituindo
e
,
:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida (para ganhar confiança): o ponto encontrado é
Cheque 1 (médio): o ponto médio entre
e
é
como esperado.
Cheque 2 (perpendicularidade): a inclinação de
é
que é a inclinação perpendicular à inclinação
da reta
. Portanto
é perpendicular a
. Ambos os cheques confirmam que
é a mediatriz de
.