Sejam r uma reta e A um ponto não pertencente a r. O ponto simétrico do ponto A em relação à reta r é o ponto A^{\prime} tal que r é a mediatriz do segmento A A^{\prime}.
Encontre o ponto simétrico de A=(3,1) em relação à reta r : y=2 x+1.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O ponto A=(3,1).
  • A reta r cuja equação é y=2x+1.
    O que se pede:
  • Encontrar o ponto simétrico A' de A em relação à reta r, sabendo que r é a mediatriz do segmento A A'.
Observações importantes (extraídas da definição de mediatriz, sem ainda resolver):
  • Se r é a mediatriz de A A', então r passa pelo ponto médio do segmento A A'.
  • Além disso, r é perpendicular ao segmento A A'.
    Essas duas propriedades vão guiar a construção do ponto A'.

Passo 2

Encontrar a equação da reta perpendicular a r que passa por A.
A reta r tem coeficiente angular (inclinação) 2 porque sua equação é y=2x+1. A inclinação de uma reta perpendicular a uma reta de inclinação m é -\dfrac{1}{m}. Assim a inclinação da reta perpendicular é
m_{\perp}=-\dfrac{1}{2}.
A equação da reta que passa por A=(3,1) e tem inclinação m_{\perp} é, na forma ponto-ângulo,
y-1 = -\dfrac{1}{2}\bigl(x-3\bigr).

Passo 3

Determinar o ponto de interseção H entre a reta r e a perpendicular encontrada — esse ponto é o pé da perpendicular de A sobre r e será o ponto médio de AA'.
As duas equações são
y=2x+1
e
y-1 = -\dfrac{1}{2}\bigl(x-3\bigr).
Isolando a segunda:
y = 1 -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}x.
Igualando as duas expressões para y:
2x+1 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}x.
Somando \dfrac{1}{2}x aos dois lados:
2x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{5}{2} - 1.
Calculando os lados:
\dfrac{5}{2}x = \dfrac{3}{2}.
Logo
x_H = \dfrac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{5}{2}} = \dfrac{3}{5}.
Substituindo em y=2x+1:
y_H = 2\cdot\dfrac{3}{5} + 1 = \dfrac{6}{5} + \dfrac{5}{5} = \dfrac{11}{5}.
Portanto o pé da perpendicular (e ponto médio) é
H=\left(\dfrac{3}{5},\,\dfrac{11}{5}\right).

Passo 4

Usar o fato de que H\) é o ponto médio de \(AA'\). Se \(A=(x_A,y_A)\) e \(A'=(x',y')\) e \(H\) é o ponto médio, então \[\begin{cases} \dfrac{x_A + x'}{2} = x_H,\\[4pt] \dfrac{y_A + y'}{2} = y_H. \end{cases}
Isolando x'\] e \[y':
\begin{cases} x' = 2x_H - x_A,\\[4pt] y' = 2y_H - y_A. \end{cases}
Substituindo x_A=3\], \(y_A=1 e x_H=\dfrac{3}{5}, y_H=\dfrac{11}{5}:
x' = 2\cdot\dfrac{3}{5} - 3 = \dfrac{6}{5} - \dfrac{15}{5} = -\dfrac{9}{5},
y' = 2\cdot\dfrac{11}{5} - 1 = \dfrac{22}{5} - \dfrac{5}{5} = \dfrac{17}{5}.]

Passo 5

Interpretação e checagem rápida (para ganhar confiança): o ponto encontrado é
A'=\left(-\dfrac{9}{5},\,\dfrac{17}{5}\right).
Cheque 1 (médio): o ponto médio entre A e A' é
\left(\dfrac{3 + \bigl(-\tfrac{9}{5}\bigr)}{2},\,\dfrac{1 + \tfrac{17}{5}}{2}\right) = \left(\dfrac{\tfrac{15}{5}-\tfrac{9}{5}}{2},\,\dfrac{\tfrac{5}{5}+\tfrac{17}{5}}{2}\right) = \left(\dfrac{\tfrac{6}{5}}{2},\,\dfrac{\tfrac{22}{5}}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{5},\,\dfrac{11}{5}\right)=H,
como esperado.
Cheque 2 (perpendicularidade): a inclinação de AA' é
\dfrac{\tfrac{17}{5}-1}{-\tfrac{9}{5}-3}=\dfrac{\tfrac{12}{5}}{-\tfrac{24}{5}}=-\dfrac{1}{2},
que é a inclinação perpendicular à inclinação 2 da reta r. Portanto r é perpendicular a AA'. Ambos os cheques confirmam que r é a mediatriz de AA'.

Resposta

A'=\left(-\dfrac{9}{5},\,\dfrac{17}{5}\right)

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