Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow M(2,2) a transformação linear definida por
[T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -2 \\\\ -1 & 0 \\\\ 2 & 1 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right),
onde \alpha e \beta são as Bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e M(2,2), respectivamente.
a) Determine os vetores \vec{v} \in \mathbb{R}^{2} tais que T(\vec{v})=I_{2};
b) Determine T(3,-1).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to M(2,2)
cuja matriz em relação às bases canônicas \alpha de \mathbb{R}^2 e \beta de M(2,2) é
[T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -1 & 0\\\\ 2 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Precisamos de (a) achar \vec v\in\mathbb{R}^2 tal que T(\vec v)=I_2 e (b) calcular T(3,-1). Vamos usar que, para \vec v=(v_1,v_2),
[T(\vec v)]_{\beta} = [T]_{\beta}^{\alpha} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix},
e converter depois o vetor de coordenadas em matriz pela base \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}.

Passo 2

Para exigir T(\vec v)=I_2, note que
[I_2]_{\beta} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \quad\text{(pois \(I_2=E_{11}+E_{22}\)).}
Logo temos o sistema matricial
\begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -1 & 0\\\\ 2 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Escrevendo as equações linha a linha:
  1. v_1 - 2v_2 = 1
  2. -v_1 = 0
  3. 2v_1 + v_2 = 0
  4. v_1 - v_2 = 1.

Passo 4

Da equação (2) vem v_1=0. Substituindo em (1) dá -2v_2=1 \Rightarrow v_2=-\tfrac12, mas em (3) precisaríamos de v_2=0. Há contradição, então não existe \vec v em \mathbb{R}^2 com T(\vec v)=I_2.

Passo 5

Para calcular T(3,-1), fazemos
[T(3,-1)]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -1 & 0\\\\ 2 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+2\\\\ -3+0\\\\ 6-1\\\\ 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\\ -3\\\ 5\\\ 4\end{pmatrix}.
Convertendo de volta em matriz via \beta,
T(3,-1) =5E_{11}-3E_{12}+5E_{21}+4E_{22} = \begin{pmatrix} 5 & -3\\\\ 5 & 4 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) Não existe \vec v\in\mathbb{R}^2 tal que T(\vec v)=I_2.
(b) T(3,-1)=\begin{pmatrix}5 & -3\\\ 5 & 4\end{pmatrix}.

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