Seja
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{array}\right)
(a) Encontre todos os valores do parâmetro \lambda tais que o sistema homogêneo ( A- \lambda I) X=0 possua solução não trivial.
(b) Para cada valor de \lambda encontrado no item anterior, encontre as soluções do sistema (A-\lambda I) X=0.

Passo 1

O enunciado pede (a) os valores de \lambda tais que o sistema homogêneo (A-\lambda I)X=0 tenha solução não trivial e (b), para cada \lambda achado, todas as soluções desse sistema. O conteúdo envolve cálculo do determinante de A-\lambda I (polinômio característico), fatoração do polinômio cúbico e, para cada raiz \lambda, resolução do sistema homogêneo correspondente para encontrar os autovetores.

Passo 2

Escrevemos o determinante de A-\lambda I:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 3\\\\ 1 & 2-\lambda & 1\\\\ 2 & -2 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo por cofactores na primeira linha:
\det(A-\lambda I) =(2-\lambda)\bigl[(2-\lambda)(1-\lambda)-1\cdot(-2)\bigr] -2\bigl[1\cdot(1-\lambda)-1\cdot2\bigr] +3\bigl[1\cdot(-2)-(2-\lambda)\cdot2\bigr].
Calcula-se cada termo:
(2-\lambda)(1-\lambda)+2=\lambda^2-3\lambda+4,\quad 1\cdot(1-\lambda)-2=-\lambda-1,\quad -2-2(2-\lambda)=2\lambda-6.
Logo
\det(A-\lambda I) =(2-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+4)+2\lambda+2+6\lambda-18 =-\lambda^3+5\lambda^2-2\lambda-8.
Fazendo -1 vezes, o polinômio característico é
\lambda^3-5\lambda^2+2\lambda+8=0.

Passo 3

Buscamos raízes racionais em \pm1,\pm2,\pm4,\pm8. Testando \lambda=2 obtemos
2^3-5\cdot2^2+2\cdot2+8=8-20+4+8=0,
logo \lambda=2 é raiz. Dividindo por \lambda-2 (sintético ou divisão polinomial) achamos o quociente \lambda^2-3\lambda-4, que se fatoriza:
\lambda^2-3\lambda-4=(\lambda-4)(\lambda+1).
Portanto os autovalores são
\lambda_1=2,\quad \lambda_2=4,\quad \lambda_3=-1.

Passo 4

Para \lambda=2\) resolvemos \((A-2I)X=0\): \[A-2I =\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{cases} 2y+3z=0,\\\ x+z=0,\\\\ 2x-2y-z=0. \end{cases}
Da segunda equação x=-z\]. Da primeira \(y=-\tfrac32\,z. A terceira é consequência das duas primeiras. Tomando z=t, temos
X=t\bigl(-1,\,-\tfrac32,\,1\bigr) =t\cdot(-2,-3,2),
onde multiplicamos por 2 para remover fração. Uma base do espaço próprio de \lambda=2 é \{(-2,-3,2)\}.

Passo 5

Para \lambda=4\) resolvemos \((A-4I)X=0\): \[A-4I =\begin{pmatrix} -2 & 2 & 3\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 2 & -2 & -3 \end{pmatrix}, \quad \begin{cases} -2x+2y+3z=0,\\\ x-2y+z=0,\\\\ 2x-2y-3z=0. \end{cases}
Da segunda equação x=2y-z\]. Substituindo na primeira obtém-se \(y=\tfrac52\,z. A terceira fica satisfeita. Com z=t,
X=t\bigl(4,\,\tfrac52,\,1\bigr) =t\cdot(8,5,2).
Uma base do espaço próprio de \lambda=4 é \{(8,5,2)\}.

Passo 6

Para \lambda=-1\) resolvemos \((A+I)X=0\): \[A+I =\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}, \quad \begin{cases} 3x+2y+3z=0,\\\ x+3y+z=0,\\\\ 2x-2y+2z=0. \end{cases}
Da segunda equação x=-3y-z\]. Substituindo na primeira vem \(y=0. A terceira é consequência. Com z=t,
X=t(-1,0,1).
Uma base do espaço próprio de \lambda=-1 é \{(-1,0,1)\}.

Resposta

(a) Os valores de \lambda são
2,\quad 4,\quad -1.
(b) As soluções de (A-\lambda I)X=0 são: \lambda=2: X=t\,(-2,-3,2). \lambda=4: X=t\,(8,5,2). \lambda=-1: X=t\,(-1,0,1).

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