Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
(a) Se
é uma matriz com mais colunas que linhas, então o sistema linear homogêneo
tem infinitas soluções.
(b) Se
é invertível e
, então
.
(c) Se
é uma matriz quadrada cuja forma escalonada reduzida tem uma linha nula, então o sistema linear
tem infinitas soluções.
(d) Se
é matriz
com
ímpar, então
.
(e) Se
é invertível, então
também é invertível.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
(e) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre matrizes e sistemas lineares como verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve conceitos de posto de matriz, variáveis livres em sistemas homogêneos, inversibilidade, determinante e produto matricial.
Passo 2
Para (a): se
é
com
, então
. No sistema homogêneo
o número de variáveis livres é
, logo há infinitas soluções. Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Para (b): como
é invertível, existe
. Se
multiplicando à esquerda por
obtemos
Assim (b) é verdadeira.
Passo 4
Para (c): se
é quadrada e sua forma escalonada reduzida tem uma linha nula, então
. O sistema
pode ser inconsistente para alguns
, não garantindo nem sempre infinitas soluções (poderá não ter solução). Logo (c) é falsa.
Passo 5
Para (d): para uma matriz
vale
Se
é ímpar, então
, de onde
. Portanto (d) é verdadeira.
Passo 6
Para (e): se
é invertível, então
também é invertível e
é produto de matrizes invertíveis, logo invertível. Assim (e) é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira.
b) Verdadeira.
c) Falsa.
d) Verdadeira.
e) Verdadeira.
b) Verdadeira.
c) Falsa.
d) Verdadeira.
e) Verdadeira.