Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
(a) Se A é uma matriz com mais colunas que linhas, então o sistema linear homogêneo A X=0 tem infinitas soluções.
(b) Se A é invertível e A B=A C, então B=C.
(c) Se A é uma matriz quadrada cuja forma escalonada reduzida tem uma linha nula, então o sistema linear A X=B tem infinitas soluções.
(d) Se A é matriz n \times n com n ímpar, então \operatorname{det}(-A)=-\operatorname{det} A.
(e) Se A é invertível, então A^{t} A também é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre matrizes e sistemas lineares como verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve conceitos de posto de matriz, variáveis livres em sistemas homogêneos, inversibilidade, determinante e produto matricial.

Passo 2

Para (a): se A é m\times n com n>m, então \rank(A)\le m<n. No sistema homogêneo
A X=0
o número de variáveis livres é n-\rank(A)>0, logo há infinitas soluções. Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b): como A é invertível, existe A^{-1}. Se
A B = A C,
multiplicando à esquerda por A^{-1} obtemos
B = A^{-1}A\,B = A^{-1}A\,C = C.
Assim (b) é verdadeira.

Passo 4

Para (c): se A é quadrada e sua forma escalonada reduzida tem uma linha nula, então \rank(A)<n. O sistema
A X = B
pode ser inconsistente para alguns B, não garantindo nem sempre infinitas soluções (poderá não ter solução). Logo (c) é falsa.

Passo 5

Para (d): para uma matriz n\times n vale
\det(-A) = (-1)^n \det(A).
Se n é ímpar, então (-1)^n=-1, de onde \det(-A)=-\det(A). Portanto (d) é verdadeira.

Passo 6

Para (e): se A é invertível, então A^t também é invertível e
A^t A
é produto de matrizes invertíveis, logo invertível. Assim (e) é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira.
b) Verdadeira.
c) Falsa.
d) Verdadeira.
e) Verdadeira.

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