Encontre todos os valores de a tais que o sistema cuja matriz aumentada é
\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 1 & -1 & 2 \\\\ 1 & 1 & a^{2}-5 & a \end{array}\right)
(a) possua solução única.
(b) possua infinitas soluções.
(c) não possua soluções.

Passo 1

O sistema dado tem matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & a^2 - 5 \end{pmatrix}
e vetor de termos independentes (3,2,a). Para classificar as soluções, vamos calcular \det(A) e, quando ele for zero, comparar o posto de A com o posto da matriz aumentada.

Passo 2

Calculemos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\bigl(1\cdot(a^2-5)-(-1)\cdot1\bigr) -2\cdot\bigl(1\cdot(a^2-5)-(-1)\cdot1\bigr) +1\cdot\bigl(1\cdot1-1\cdot1\bigr).
Isso dá
\det(A)=(a^2-5+1)-2(a^2-5+1)+0 =(a^2-4)-2(a^2-4) =4 - a^2.

Passo 3

Se \det(A)\neq 0, ou seja 4 - a^2\neq 0 (portanto a\neq \pm 2), então \rank(A)=3 e o sistema tem solução única.

Passo 4

Agora suponha \det(A)=0, ou seja a=\pm 2. Nesse caso \rank(A)<3 e precisamos ver a consistência da matriz aumentada.

Passo 5

Para a=2 temos a^2-5=-1 e a terceira equação vira
x + y - z = 2,
que é exatamente a segunda. Logo \rank(A)=\rank(\text{aumentada})=2<3 e existem infinitas soluções.

Passo 6

Para a=-2 temos de novo a^2-5=-1, mas a terceira equação é
x + y - z = -2,
que entra em contradição com x+y-z=2. Assim \rank(\text{aumentada})=3>\rank(A)=2 e o sistema não tem solução.

Resposta

(a) a\neq \pm 2
(b) a=2
(c) a=-2

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