Determine todos os valores de m para que o sistema
\left\{\begin{aligned} x_{3}-2 x_{4}+x_{5} & =1 \\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}+2 x_{5} & =2 \\\\ -x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}+m x_{5} & =2 \end{aligned}\right.
a) tenha solução única;
b) não tenha solução;
c) tenha infinitas soluções.
Substitua m=0 e descreva o conjunto solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e cinco incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}. O conteúdo é teoria de sistemas lineares, em particular classificação via posto da matriz de coeficientes e da matriz ampliada. Para resolver, vamos montar a matriz aumentada, aplicar eliminação de Gauss e comparar o posto para diferentes valores de m.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e trocamos a ordem das equações para facilitar pivôs em x_{1} e x_{3}:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & 2 & \vline & 2\\\\ -1& 1 & 1 &-1 & m & \vline & 2\\\\ 0 & 0 & 1 &-2 & 1 & \vline & 1 \end{pmatrix}.
Fazendo a operação “linha 2 ← linha 2+ linha 1” obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & 2 & \vline & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & m+2 & \vline & 4\\\\ 0 & 0 & 1 &-2 & 1 & \vline & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Da forma triangular vemos que a segunda linha dá a equação
(m+2)\,x_{5}=4.
– Se m+2\neq0, então definimos x_{5}=4/(m+2) e há três pivôs (colunas x_{1},x_{3},x_{5}), logo o posto da matriz de coeficientes é 3 e o da matriz ampliada também é 3. Como há cinco incógnitas, surgem 5-3=2 variáveis livres e, portanto, infinitas soluções.
– Se m+2=0, ou seja m=-2, a segunda linha vira 0=4, o que é uma contradição. Então o posto da matriz de coeficientes é 2 mas o da matriz ampliada é 3, e o sistema não tem solução.

Passo 4

Para ter solução única seria necessário posto igual ao número de incógnitas (5), o que é impossível com apenas 3 equações. Portanto não existe valor de m que dê solução única.

Passo 5

Agora colocamos m=0. Então x_{5}=4/(0+2)=2. A partir da terceira linha usamos
x_{3}-2x_{4}+x_{5}=1 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=-1+2x_{4}.
Da primeira linha original (reordenada)
x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}+2x_{5}=2
substituímos x_{3}=-1+2x_{4} e x_{5}=2, obtendo
x_{1}-x_{2}-(-1+2x_{4})+x_{4}+4=2 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=x_{2}+x_{4}-3.
Como x_{2} e x_{4} são livres, chamamos s=x_{2}, t=x_{4}.

Resposta

a) Não há valor de m que torne o sistema com solução única.
b) O sistema não tem solução se, e somente se, m=-2.
c) O sistema tem infinitas soluções para todo m\neq -2.
Para m=0, o conjunto-solução é
\bigl\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(\,s+t-3,\;s,\;-1+2t,\;t,\;2)\mid s,t\in\mathbb R\bigr\}.

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