a) tenha solução única;
b) não tenha solução;
c) tenha infinitas soluções.
Substitua m=0 e descreva o conjunto solução.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com três equações e cinco incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}. O conteúdo é teoria de sistemas lineares, em particular classificação via posto da matriz de coeficientes e da matriz ampliada. Para resolver, vamos montar a matriz aumentada, aplicar eliminação de Gauss e comparar o posto para diferentes valores de m.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada e trocamos a ordem das equações para facilitar pivôs em x_{1} e x_{3}:
Da forma triangular vemos que a segunda linha dá a equação
(m+2)\,x_{5}=4.
– Se m+2\neq0, então definimos x_{5}=4/(m+2) e há três pivôs (colunas x_{1},x_{3},x_{5}), logo o posto da matriz de coeficientes é 3 e o da matriz ampliada também é 3. Como há cinco incógnitas, surgem 5-3=2 variáveis livres e, portanto, infinitas soluções.
– Se m+2=0, ou seja m=-2, a segunda linha vira 0=4, o que é uma contradição. Então o posto da matriz de coeficientes é 2 mas o da matriz ampliada é 3, e o sistema não tem solução.
Passo 4
Para ter solução única seria necessário posto igual ao número de incógnitas (5), o que é impossível com apenas 3 equações. Portanto não existe valor de m que dê solução única.
Passo 5
Agora colocamos m=0. Então x_{5}=4/(0+2)=2. A partir da terceira linha usamos
Como x_{2} e x_{4} são livres, chamamos s=x_{2}, t=x_{4}.
Resposta
a) Não há valor de m que torne o sistema com solução única.
b) O sistema não tem solução se, e somente se, m=-2.
c) O sistema tem infinitas soluções para todo m\neq -2.