A pergunta é: encontrar uma base para o subespaço gerado (span) dessas colunas, isto é, uma lista de vetores linearmente independentes cujo span seja \operatorname{Lin}(A).
Nada mais será resolvido neste passo; a partir do próximo passo começamos a trabalhar os cálculos.]
Passo 2
Breve explicação didática do método que vamos usar (sem pular etapas):\n
O objetivo é selecionar um conjunto de colunas de A que seja linearmente independente e que gere todas as colunas. Uma maneira prática é fazer eliminação por linhas (operações elementares nas linhas) para chegar a uma forma escalonada.\n
Importante: operações elementares nas linhas correspondem a multiplicar A pela esquerda por uma matriz invertível. Isso significa que relações de dependência linear entre as colunas são preservadas: se uma coluna era combinação linear das outras, ela continua a ser após as operações. Por isso, ao encontrar as colunas-pivô (as colunas que contêm os primeiros 1s em cada linha da forma escalonada), as colunas correspondentes na matriz original formam uma base do espaço coluna.\n
Em linguagem prática de prova: fazemos eliminação por linhas até forma escalonada, identificamos as colunas-pivô; então tomamos essas colunas da matriz original como base de \operatorname{Lin}(A). Vou mostrar cada operação e justificar.
Passo 3
Vamos aplicar eliminação por linhas passo a passo, anotando cada operação e seu efeito.\n
Começamos com
Há pivôs (linhas com primeiro elemento não nulo) nas colunas 1 e 2. Portanto o posto (rank) da matriz é 2.\n
As colunas-pivô são as colunas a_{1} e a_{2} da matriz original. Pelo argumento dado no Passo 2 (operações por linhas preservam dependências lineares entre colunas), as colunas a_{1} e a_{2} formam um conjunto linearmente independente que gera o espaço coluna de A. Portanto elas formam uma base de \operatorname{Lin}(A).
Passo 6
Vamos verificar explicitamente que as outras colunas são combinações lineares de a_{1} e a_{2} (isso consolida a intuição e é útil na prova da sala de aula):\n
Procuramos coeficientes x,y tais que x a_{1}+y a_{2}=a_{3}. Escrevendo componentes:
Da primeira linha vem x=1. Da segunda linha vem 2x+y=0\Rightarrow y=-2. Checando a terceira linha: 5x+2y=5+2(-2)=1, bate. Logo
a_{3}=1\cdot a_{1}+(-2)\cdot a_{2}=a_{1}-2a_{2}.
Agora para a_{4} buscamos x,y com x a_{1}+y a_{2}=a_{4}. Da primeira componente obtemos x=-1. Da segunda componente obtemos 2x+y=-1\Rightarrow y=1. Checando a terceira: 5(-1)+2(1)=-5+2=-3, bate. Logo
a_{4}=-1\cdot a_{1}+1\cdot a_{2}=-a_{1}+a_{2}.
Essas expressões confirmam que a_{3} e a_{4} estão no span\{a_{1},a_{2}\}.]
Passo 7
Conclusão final didática:\n
As colunas a_{1} e a_{2} são linearmente independentes e geram todas as colunas de A.\n
Portanto uma base para \operatorname{Lin}(A) é formada por a_{1} e a_{2}, que escrevemos explicitamente abaixo.