Seja A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 5 & 2 & 1 & -3\end{array}\right).
Encontre uma base para \operatorname{Lin}(A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 5 & 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}
e pede: "Encontre uma base para \operatorname{Lin}(A)".\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A matriz A tem 3 linhas e 4 colunas, então cada coluna é um vetor em \mathbb{R}^{3}.
  • Podemos nomear as colunas como
a_{1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]5\end{pmatrix},\quad a_{2}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad a_{3}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad a_{4}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-1\\[2pt]-3\end{pmatrix}.
  • A pergunta é: encontrar uma base para o subespaço gerado (span) dessas colunas, isto é, uma lista de vetores linearmente independentes cujo span seja \operatorname{Lin}(A).

    Nada mais será resolvido neste passo; a partir do próximo passo começamos a trabalhar os cálculos.]

Passo 2

Breve explicação didática do método que vamos usar (sem pular etapas):\n
  • O objetivo é selecionar um conjunto de colunas de A que seja linearmente independente e que gere todas as colunas. Uma maneira prática é fazer eliminação por linhas (operações elementares nas linhas) para chegar a uma forma escalonada.\n
  • Importante: operações elementares nas linhas correspondem a multiplicar A pela esquerda por uma matriz invertível. Isso significa que relações de dependência linear entre as colunas são preservadas: se uma coluna era combinação linear das outras, ela continua a ser após as operações. Por isso, ao encontrar as colunas-pivô (as colunas que contêm os primeiros 1s em cada linha da forma escalonada), as colunas correspondentes na matriz original formam uma base do espaço coluna.\n
  • Em linguagem prática de prova: fazemos eliminação por linhas até forma escalonada, identificamos as colunas-pivô; então tomamos essas colunas da matriz original como base de \operatorname{Lin}(A). Vou mostrar cada operação e justificar.

Passo 3

Vamos aplicar eliminação por linhas passo a passo, anotando cada operação e seu efeito.\n
Começamos com
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 5 & 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Queremos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que está em \,a_{11}=1).\n
Realizamos as operações:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-5R_{1}.
Calculemos cada nova linha:
  • Para R_{2}: (2,1,0,-1)-2(1,0,1,-1) = (0,1,-2,1).
  • Para R_{3}: (5,2,1,-3)-5(1,0,1,-1) = (0,2,-4,2).

    Assim a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora vamos usar a segunda linha para zerar o elemento abaixo do segundo pivô (o 2 em posição 3,2).\n
Aplicamos
R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}.
Calculemos:
(0,2,-4,2)-2(0,1,-2,1) = (0,0,0,0).\n
A matriz fica então na forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Interpretação da forma escalonada:\n
  • Há pivôs (linhas com primeiro elemento não nulo) nas colunas 1 e 2. Portanto o posto (rank) da matriz é 2.\n
  • As colunas-pivô são as colunas a_{1} e a_{2} da matriz original. Pelo argumento dado no Passo 2 (operações por linhas preservam dependências lineares entre colunas), as colunas a_{1} e a_{2} formam um conjunto linearmente independente que gera o espaço coluna de A. Portanto elas formam uma base de \operatorname{Lin}(A).

Passo 6

Vamos verificar explicitamente que as outras colunas são combinações lineares de a_{1} e a_{2} (isso consolida a intuição e é útil na prova da sala de aula):\n
Procuramos coeficientes x,y tais que x a_{1}+y a_{2}=a_{3}. Escrevendo componentes:
x\cdot\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]5\end{pmatrix} +y\cdot\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem x=1. Da segunda linha vem 2x+y=0\Rightarrow y=-2. Checando a terceira linha: 5x+2y=5+2(-2)=1, bate. Logo
a_{3}=1\cdot a_{1}+(-2)\cdot a_{2}=a_{1}-2a_{2}.
Agora para a_{4} buscamos x,y com x a_{1}+y a_{2}=a_{4}. Da primeira componente obtemos x=-1. Da segunda componente obtemos 2x+y=-1\Rightarrow y=1. Checando a terceira: 5(-1)+2(1)=-5+2=-3, bate. Logo
a_{4}=-1\cdot a_{1}+1\cdot a_{2}=-a_{1}+a_{2}.
Essas expressões confirmam que a_{3} e a_{4} estão no span \{a_{1},a_{2}\}.]

Passo 7

Conclusão final didática:\n
  • As colunas a_{1} e a_{2} são linearmente independentes e geram todas as colunas de A.\n
  • Portanto uma base para \operatorname{Lin}(A) é formada por a_{1} e a_{2}, que escrevemos explicitamente abaixo.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]5\end{pmatrix}
\displaystyle \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix}]

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