Seja
A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)
Calcule as entradas \boldsymbol{c}_{\mathbf{1 1}}, \boldsymbol{c}_{\mathbf{1 2}}, \boldsymbol{c}_{\mathbf{2 1}}, \boldsymbol{c}_{\mathbf{2 2}} da matriz
A^{2912}=\left(\begin{array}{ll}c_{11} & c_{12} \\\ c_{21} & c_{22}\end{array}\right)
Dê a resposta com pelo menos 3 casas decimais e utilize ponto para separar a casa decimal, não utilize vírgula pois o moodle não é inteligente o suficiente para entender esta notação (sorry moodle, just being honest…)
Observação: aqui não há nota parcial; todas as entradas precisam estar corretas para ganhar o ponto nesta questão, então cuidado com erros de digitação!
c_{11}=\square, c_{12}=\square, c_{21}=\square, c_{22}=\square .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\[6pt] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
e pede as entradas de A^{2912}. O conteúdo aqui é potência de matrizes de rotação no plano, usando que uma matriz de rotação por \theta satisfaz
A(\theta)^n = A(n\theta)\quad(\bmod\,2\pi).]

Passo 2

Repare que
A = A\bigl(\pi/6\bigr)
é a rotação de ângulo \pi/6 (30°). Logo
A^{2912} = A\bigl(2912\cdot\pi/6\bigr).

Passo 3

Calculemos o ângulo efetivo
2912\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{2912}{6}\,\pi = 485\frac{1}{3}\,\pi.
Como soma de rotações de 2\pi não altera, subtraímos 484\pi=242\cdot2\pi, ficando
485\frac{1}{3}\,\pi - 484\pi = \frac{4}{3}\,\pi,
que em graus é 240^\circ.

Passo 4

Portanto
A^{2912} = A\bigl(4\pi/3\bigr) = \begin{pmatrix} \cos\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) & -\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) \\[4pt] \sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) & \cos\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) \end{pmatrix}.]

Passo 5

Sabendo que
\cos\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) = -\tfrac12 e
\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
A^{2912} = \begin{pmatrix} -\,\tfrac12 & -\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) \\[4pt] -\,\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\,\tfrac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,\tfrac12 & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] -\,\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\,\tfrac12 \end{pmatrix}.
Convertendo para decimal com 3 casas:
-\,\tfrac12 = -0.500,\quad \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866025\approx0.866,\quad -\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx-0.866.]

Resposta

c_{11}=-0.500,\quad c_{12}=0.866,\quad c_{21}=-0.866,\quad c_{22}=-0.500.

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