Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado:
\iint_{R} 8 x^{3}-4 d A \quad R=[-3,-1] \times[0,4]

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
\iint_{R}(8x^3-4)\,dA
em R=[-3,-1]\times[0,4]. Como o integrando não depende de y, podemos usar integração iterada primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Integramos em y:
\int_{0}^{4}(8x^3-4)\,dy = (8x^3-4)\int_{0}^{4}1\,dy = (8x^3-4)\cdot 4 =32x^3-16.

Passo 3

Agora resta calcular
\int_{-3}^{-1}(32x^3-16)\,dx.
Uma primitiva de 32x^3 é 8x^4 e de -16 é -16x. Logo, a antiderivada geral é
8x^4-16x.

Passo 4

Avaliaremos de x=-3 até x=-1:
\bigl[8x^4-16x\bigr]_{-3}^{-1} = \bigl(8\cdot(-1)^4 - 16\cdot(-1)\bigr) - \bigl(8\cdot(-3)^4 - 16\cdot(-3)\bigr).
Calculando:
8\cdot1 +16 =24, \quad 8\cdot81 +48 =648+48=696,
então
24 - 696 = -672.

Resposta

O valor da integral dupla é -672.

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