Usando integral dupla calcule a área da região delimitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x no primeiro quadrante.

Escolha uma opção:

a. Nenhuma das Respostas
b. \frac{2}{3}
C. \frac{4}{3}
d. -\frac{2}{3}
e. \frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região R no primeiro quadrante delimitada pelas curvas y = \sqrt{x} e
y = x.
Como queremos a área, vamos usar integral dupla
\text{Área}(R) = \iint_{R} 1 \,dA.Á

Passo 2

Primeiro identificamos os pontos de interseção das duas curvas resolvendo
y = \sqrt{x} \quad\text{e}\quad y = x.
Substituindo y = x em y = \sqrt{x}
x = \sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x^2 = x \;\Longrightarrow\; x(x-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0,1.
Logo os pontos comuns são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para descrever R é mais simples inverter as funções em termos de x. Da curva y=\sqrt{x} vem x=y^2, e da reta y=x vem x=y. No intervalo 0\le y\le1 temos
y^2 \le y,
então a região é
R = \{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;y^2 \le x \le y\}.

Passo 4

Agora montamos a integral dupla trocando a ordem de integração para dx\,dy:
\text{Área}(R) = \int_{y=0}^{1}\int_{x=y^2}^{y} 1 \,dx\,dy = \int_{0}^{1} \bigl[y - y^2\bigr] \,dy.Á
Calculemos:
\int_{0}^{1} \bigl(y - y^2\bigr)\,dy = \left[\frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Passo 5

Obtivemos \tfrac{1}{6}, que não coincide com nenhuma das opções dadas.

Resposta

a. Nenhuma das Respostas

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