Seja R a região plana limitada por y=\arcsin (-x), y=\frac{\pi}{2} e x=1. Se a densidade é \rho(x, y)=k,(k>0), então a massa e o centro de massa de R são dados, respectivamente por:
Escolha uma opção:
a. Nenhuma das Respostas
b. \pi k \in\left(\frac{1}{4}, \frac{2}{\pi}\right)
c. \pi k \mathrm{e}\left(-\frac{1}{4},-\frac{2}{\pi}\right)
d. \quad \pi k \mathrm{e}\left(\frac{1}{4},-\frac{2}{\pi}\right)
e. \quad \pi k \mathrm{e}\left(-\frac{1}{4}, \frac{2}{\pi}\right)

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de massa da região R limitada por
y=\arcsin(-x),\quad y=\frac{\pi}{2},\quad x=1,
com densidade uniforme \rho(x,y)=k.
Para isso precisamos (1) achar a área de R e multiplicar por k para obter a massa, (2) calcular as coordenadas do centro de massa
\bar x=\frac{1}{A}\iint_{R}x\,dA,\quad \bar y=\frac{1}{A}\iint_{R}y\,dA.

Passo 2

Calculemos a área de R usando integração em x de -1 a 1. Note que \arcsin(-x)=-\arcsin(x), logo
A=\int_{-1}^{1}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\arcsin(-x)\Bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}\Bigl(\frac{\pi}{2}+\arcsin(x)\Bigr)\,dx =\frac{\pi}{2}\cdot2+\int_{-1}^{1}\arcsin(x)\,dx =\pi+0 =\pi.
Assim a massa é
M=k\,A=\pi k.

Passo 3

Calculemos \bar x:
\bar x=\frac{1}{A}\int_{-1}^{1}x\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\arcsin(x)\bigr)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\!\int_{-1}^{1}x\,dx+\int_{-1}^{1}x\arcsin(x)\,dx\Bigr).
O primeiro integral anula-se. Para o segundo, usa-se simetria e integração por partes e obtém-se \int_{-1}^{1}x\arcsin(x)\,dx=\pi/4. Logo
\bar x=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Calculemos \bar y:
\bar y=\frac{1}{A}\int_{-1}^{1}\frac{(\tfrac{\pi}{2})^2-(\arcsin(-x))^2}{2}\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1}\Bigl(\frac{\pi^2}{4}-\arcsin(x)^2\Bigr)\,dx.
Fazendo as contas por simetria e partes chega-se a \int_{-1}^{1}(\pi^2/4-\arcsin(x)^2)\,dx=2\cdot2. Portanto
\bar y=\frac{1}{2\pi}\cdot4=\frac{2}{\pi}.
O centro de massa é \bigl(\tfrac14,\tfrac{2}{\pi}\bigr).

Resposta

a. Nenhuma das Respostas

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