Resolva a seguinte EDP
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha^{2} \frac{\partial u}{\partial x}+x e^{-x^{2}} \\\ u(x, 0)=(\cos a x) \chi_{[0, \pi]}(x), \quad x \in \mathbb{R} \end{array}\right.
onde a e \alpha são constantes positivas.

Passo 1

Estamos resolvendo a EDP
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^{2}\,\frac{\partial u}{\partial x} + x\,e^{-x^{2}},
com condição inicial
u(x,0) = (\cos(a x))\,\chi_{[0,\pi]}(x).
Este é um problema de transporte linear com termo fonte. Vamos usar o método das características para chegar à solução.

Passo 2

Escrevemos a EDP na forma
u_{t} - \alpha^{2}\,u_{x} = x\,e^{-x^{2}},
e identificamos as equações das características:
\frac{dt}{1} = \frac{dx}{-\,\alpha^{2}} = \frac{du}{x\,e^{-x^{2}}}.
Da relação \frac{dt}{1}=\frac{dx}{-\,\alpha^{2}} segue que
x + \alpha^{2}\,t = s
é constante ao longo de cada característica. Aqui s é o ponto inicial x-quando- t=0.

Passo 3

Ao longo da característica s = x + \alpha^{2}t, temos
\frac{du}{dt} = x(t)\,e^{-x(t)^{2}} = \bigl(s - \alpha^{2}t\bigr)e^{-\bigl(s - \alpha^{2}t\bigr)^{2}}.
Integramos de t=0 até t:
u(x,t) = u(s,0) + \int_{0}^{t}\bigl(s - \alpha^{2}\tau\bigr)e^{-\bigl(s - \alpha^{2}\tau\bigr)^{2}}\,d\tau.
Na integral, façamos a mudança de variável y = s - \alpha^{2}\tau, de modo que d\tau = -\frac{dy}{\alpha^{2}}. Quando \tau vai de 0 a t, y vai de s a s - \alpha^{2}t. Logo
\int_{0}^{t}\bigl(s - \alpha^{2}\tau\bigr)e^{-\bigl(s - \alpha^{2}\tau\bigr)^{2}}\,d\tau = \frac{1}{\alpha^{2}} \int_{s}^{\,s-\alpha^{2}t} y\,e^{-y^{2}}\,\bigl(-dy\bigr) = \frac{1}{\alpha^{2}} \int_{s-\alpha^{2}t}^{\,s} y\,e^{-y^{2}}\,dy.
Como \int y\,e^{-y^{2}}\,dy = -\tfrac12 e^{-y^{2}}, concluímos
\int_{0}^{t}\bigl(s - \alpha^{2}\tau\bigr)e^{-\bigl(s - \alpha^{2}\tau\bigr)^{2}}\,d\tau = \frac{1}{2\alpha^{2}}\Bigl(e^{-\bigl(s-\alpha^{2}t\bigr)^{2}} - e^{-s^{2}}\Bigr).

Passo 4

Voltando à solução, lembrando que u(s,0)=\cos(a\,s)\,\chi_{[0,\pi]}(s) e que s = x+\alpha^{2}t, obtemos
u(x,t) = \cos\bigl(a\,(x+\alpha^{2}t)\bigr)\,\chi_{[0,\pi]}\bigl(x+\alpha^{2}t\bigr) + \frac{1}{2\alpha^{2}}\Bigl(e^{-x^{2}} - e^{-\bigl(x+\alpha^{2}t\bigr)^{2}}\Bigr).

Resposta

\boxed{\,u(x,t) = \cos\bigl(a\,(x+\alpha^{2}t)\bigr)\,\chi_{[0,\pi]}\bigl(x+\alpha^{2}t\bigr) \;+\;\frac{1}{2\alpha^{2}}\Bigl(e^{-x^{2}} - e^{-\bigl(x+\alpha^{2}t\bigr)^{2}}\Bigr)\,.}

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