Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
onde
Vamos usar transformadas de Laplace. Precisamos
- Representar
em termos de funções de Heaviside. - Calcular
. - Transformar a EDO para obter
. - Fazer frações parciais e usar deslocamento no tempo para achar
em cada intervalo.
Passo 2
Escrevemos
Suas transformadas são
onde fizemos a mudança
. Calculando
Logo, combinando, obtém-se
Passo 3
Aplicando a transformada na EDO e usando
, temos
Passo 4
Definimos
Fazendo frações parciais:
leva a
,
,
,
. Então
Passo 5
Usando o teorema do deslocamento:
onde
é a inversa de
. Assim
Passo 6
Substituindo
e desdobrando por intervalos:
Para
:
, então
Para
:
,
,
Para
:
,
Resposta
Para a solução do PVI temos