Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+y=f(t) ; \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, \quad \text { onde } \quad f(t)=\left\{\begin{array}{cc} t & 0 \leq t<1 \\ 2-t & 1 \leq t<2 \\ 0 & t \geq 2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = f(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
onde
f(t)= \begin{cases} t, &0\le t<1,\\\\ 2-t,&1\le t<2,\\\\ 0,&t\ge2. \end{cases}
Vamos usar transformadas de Laplace. Precisamos
  1. Representar f(t) em termos de funções de Heaviside.
  2. Calcular F(s)=\mathcal L\{f(t)\}.
  3. Transformar a EDO para obter Y(s).
  4. Fazer frações parciais e usar deslocamento no tempo para achar y(t) em cada intervalo.

Passo 2

Escrevemos
f(t)=t\bigl[u(t)-u(t-1)\bigr]+(2-t)\bigl[u(t-1)-u(t-2)\bigr].
Suas transformadas são
\mathcal L\{t\,[u(t)-u(t-1)]\} =\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt,
\mathcal L\{(2-t)[u(t-1)-u(t-2)]\} =e^{-s}\int_{0}^{1}(1-u)e^{-su}du,
onde fizemos a mudança u=t-1. Calculando
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt =\frac{1}{s^2}-e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr),
\int_{0}^{1}(1-u)e^{-su}du =\frac{1}{s}-\frac{1}{s^2}-e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s^2}\Bigr).
Logo, combinando, obtém-se
F(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{2e^{-s}}{s^2}+\frac{e^{-2s}}{s^2}.

Passo 3

Aplicando a transformada na EDO e usando y(0)=y'(0)=0, temos
s^2Y(s)+Y(s)=F(s) \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{F(s)}{s^2+1} =\frac{1}{s^2(s^2+1)}-2\frac{e^{-s}}{s^2(s^2+1)}+\frac{e^{-2s}}{s^2(s^2+1)}.

Passo 4

Definimos
g(t)=\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2(s^2+1)}\Bigr\}.
Fazendo frações parciais:
\frac{1}{s^2(s^2+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{Cs+D}{s^2+1}
leva a A=0, B=1, C=0, D=-1. Então
g(t)=t-\sin t.

Passo 5

Usando o teorema do deslocamento:
\mathcal L^{-1}\{e^{-as}G(s)\}=u(t-a)\,g(t-a),
onde g é a inversa de G. Assim
y(t) =g(t) -2\,u(t-1)\,g(t-1) +u(t-2)\,g(t-2).

Passo 6

Substituindo g(u)=u-\sin u e desdobrando por intervalos:
Para 0\le t<1: u(t-1)=u(t-2)=0, então
y(t)=t-\sin t.
Para 1\le t<2: u(t-1)=1, u(t-2)=0,
y(t) =(t-\sin t)-2\bigl[(t-1)-\sin(t-1)\bigr] =2-t-\sin t+2\sin(t-1).
Para t\ge2: u(t-1)=u(t-2)=1,
y(t) =(t-\sin t) -2\bigl[(t-1)-\sin(t-1)\bigr] +\bigl[(t-2)-\sin(t-2)\bigr] =-\sin t+2\sin(t-1)-\sin(t-2).

Resposta

Para a solução do PVI temos
y(t)= \begin{cases} t-\sin t,&0\le t<1,\\[6pt] 2-t-\sin t+2\sin(t-1),&1\le t<2,\\[6pt] -\sin t+2\sin(t-1)-\sin(t-2),&t\ge2. \end{cases}]

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