Suponha que X tem uma distribuição exponencial com média igual a 10. Determine:
A probabilidade de uma v.a. x ser menor que 20 .

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar a probabilidade de uma v.a. X ser menor que 20" quando X tem distribuição exponencial com média igual a 10.
Informações dadas:
  • A variável aleatória X segue uma distribuição exponencial.
  • A média de X é \mathbb{E}[X]=10.
  • Queremos calcular P(X<20).

Passo 2

Vamos lembrar a definição e as fórmulas básicas da distribuição exponencial (sem pressa, passo a passo).
A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial é, para x\ge 0,
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},
onde \lambda>0 é a taxa (parâmetro) da distribuição.
A função de distribuição acumulada (CDF), que nos dá P(X<x), é
F_X(x)=P(X<x)=1-e^{-\lambda x}\qquad\text{para }x\ge 0.
Aqui cada símbolo significa:
  • \lambda: parâmetro da distribuição (taxa), em unidades inversas da variável X.
  • x: valor real onde avaliamos a probabilidade.
  • e: base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).

Passo 3

Agora relacionamos \lambda com a média. Para a exponencial vale a fórmula
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Se quiser ver por que: calcula-se
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Fazendo integração por partes (tomando u=x e dv=\lambda e^{-\lambda x}dx) chega-se ao resultado \mathbb{E}[X]=1/\lambda. (Se quiser eu mostro a integração por partes detalhada, mas essa é a relação usada na prova.)
Como a média foi dada igual a 10, temos
\frac{1}{\lambda}=10 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{10}=0,1.

Passo 4

Usamos a CDF para calcular P(X<20). Substituindo \lambda e x=20 em F_X(x):
P(X<20)=1-e^{-\lambda\cdot 20}=1-e^{-0,1\cdot 20}=1-e^{-2}.
Essa é a forma exata da probabilidade.

Passo 5

Agora uma aproximação numérica que dá resultado prático na prova. Sabendo que e\approx 2,71828, podemos calcular e^{2} e então e^{-2}=1/e^{2}.
Estimativa de e^{2}:
e^{2}\approx 2,71828^{2}\approx 7,38906.
Logo
e^{-2}\approx \frac{1}{7,38906}\approx 0,135335.
Portanto
P(X<20)=1-e^{-2}\approx 1-0,135335\approx 0,864665.
Arredondando, P(X<20)\approx 0,8647.
Força aí — essa é uma questão clássica e a técnica é decorar: para exponencial usar \lambda=1/\text{média}é e a CDF 1-e^{-\lambda x}. Dá pra resolver rapidinho na prova.

Resposta

P(X<20)=1-e^{-2}
P(X<20)\approx 0,8647

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