Suponha que
tem uma distribuição exponencial com média igual a 10. Determine:
A probabilidade de uma v.a.
ser menor que 20 .
A probabilidade de uma v.a.
Passo 1
O enunciado pede: "Determinar a probabilidade de uma v.a.
ser menor que
" quando
tem distribuição exponencial com média igual a
.
Informações dadas:
- A variável aleatória
segue uma distribuição exponencial. - A média de
é . - Queremos calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição e as fórmulas básicas da distribuição exponencial (sem pressa, passo a passo).
A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial é, para
,
onde
é a taxa (parâmetro) da distribuição.
A função de distribuição acumulada (CDF), que nos dá
, é
Aqui cada símbolo significa:
-
: parâmetro da distribuição (taxa), em unidades inversas da variável . -
: valor real onde avaliamos a probabilidade. -
: base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Passo 3
Agora relacionamos
com a média. Para a exponencial vale a fórmula
Se quiser ver por que: calcula-se
Fazendo integração por partes (tomando
e
) chega-se ao resultado
. (Se quiser eu mostro a integração por partes detalhada, mas essa é a relação usada na prova.)
Como a média foi dada igual a
, temos
Passo 4
Usamos a CDF para calcular
. Substituindo
e
em
:
Essa é a forma exata da probabilidade.
Passo 5
Agora uma aproximação numérica que dá resultado prático na prova. Sabendo que
, podemos calcular
e então
.
Estimativa de
:
Logo
Portanto
Arredondando,
.
Força aí — essa é uma questão clássica e a técnica é decorar: para exponencial usar
e a CDF
. Dá pra resolver rapidinho na prova.