Seja f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x+1, x \leq 2 \\\ x^{2}-5 x+6, x>2\end{array}\right.. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2x+1, & x\le 2,\\[4pt] x^{2}-5x+6, & x>2, \end{cases}
e pede para calcular \lim_{x\to 2^{+}} f(x). Informações relevantes dadas:
  • Para x\le 2 temos f(x)=2x+1.
  • Para x>2 temos f(x)=x^{2}-5x+6.
  • A notação \lim_{x\to 2^{+}} f(x) significa que estamos nos aproximando de 2 por valores de x que são maiores que 2 (pela direita).]

Passo 2

O que significa calcular \lim_{x\to 2^{+}} f(x)? Significa: olhar apenas os valores de f(x) para x>2 que estão cada vez mais próximos de 2, e ver qual valor eles “tendem”. Como estamos do lado direito de 2, só interessa a expressão que vale para x>2, isto é \,x^{2}-5x+6.

Passo 3

Observação importante sobre funções polinomiais: polinômios são funções contínuas em todo lugar. Isso quer dizer que, para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Portanto, para \,x^{2}-5x+6, o limite quando x\to 2 (pela direita ou pela esquerda) é simplesmente o valor da expressão em x=2.

Passo 4

Vamos calcular diretamente a expressão no ponto x=2. Substituindo:
2^{2}-5\cdot 2+6 = 4-10+6.
Agora a conta:
4-10=-6,\quad -6+6=0.
Uma verificação alternativa (fatorando o polinômio):
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3),
então ao aproximar x de 2 temos (x-2)(x-3)\to 0\cdot(-1)=0.

Passo 5

Conclusão didática e motivadora: como só consideramos o ramo x>2 e esse ramo é um polinômio contínuo, o limite pela direita é o valor calculado acima. Note também, só para ganhar confiança, que f(2) pela definição (usar x\le 2) é f(2)=2\cdot 2+1=5, diferente do limite pela direita — isto mostra que a função tem descontinuidade tipo “salto” em x=2. Mas a pergunta pedia apenas o limite pela direita, que já foi encontrado.

Resposta

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