1. Dada a função f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1}
    a) Determine o domínio da função.
    b) Existe \lim _{x \rightarrow 1} f(x) ? Justifique.
    c) Existe \lim _{x \rightarrow-1} f(x) ? Justifique.
    d) Existe assíntota vertical? Se sim, qual a reta?
    e) Existe assíntota horizontal? Se sim, qual a reta?
    f) Discuta a continuidade da função.
    g) Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1}
e pede as seguintes coisas:
a) determinar o domínio de f;
b) verificar se \lim_{x\to 1}f(x) existe e justificar;
c) verificar se \lim_{x\to -1}f(x) existe e justificar;
d) dizer se existe assíntota vertical e, se existir, qual é a reta;
e) dizer se existe assíntota horizontal e, se existir, qual é a reta;
f) discutir a continuidade de f (onde é contínua e que tipo de descontinuidade em x=\pm1);
g) esboçar o gráfico (descrever forma, assíntotas e pontos importantes).
Informações relevantes do enunciado: a expressão algébrica \dfrac{x+1}{x^{2}-1} e que devemos tratar limites, assíntotas, continuidade e esboço do gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio.
Explicação didática: o domínio de uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} é o conjunto de x tais que o denominador q(x) não é zero (pois divisão por zero não está definida). Aqui o denominador é x^{2}-1. Vamos achar onde ele zera.
x^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 1.
Portanto os valores x=1 e x=-1 não pertencem ao domínio. Logo o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.

Passo 3

Simplificação algébrica útil para limites e gráfico.
Explicação didática: fatoramos o denominador e, quando permitido (isto é, para x\neq -1), cancelamos fatores comuns para simplificar a expressão em vizinhanças onde isso é válido.
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
então, para x\neq -1,
f(x)=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}.
Observação importante: essa identidade vale para todos x tais que x\neq -1 (e também x\neq 1 porque a função original não está definida em x=1). Em palavras: fora dos pontos \pm1, o gráfico de f coincide com o de y=\dfrac{1}{x-1}, mas nos pontos \pm1 devemos lembrar das indeterminações/remoções.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 1} f(x).
Explicação didática: para x próximos de 1 (mas distintos de \pm1) podemos usar a forma simplificada \dfrac{1}{x-1}. Avaliamos o comportamento nas duas aproximações laterais.
  • Para x\to 1^{+} temos x-1\to 0^{+}, então \dfrac{1}{x-1}\to +\infty.
  • Para x\to 1^{-} temos x-1\to 0^{-}, então \dfrac{1}{x-1}\to -\infty.
    Como as duas limites laterais são divergentes e não coincidem (um vai para +\infty e o outro para -\infty), o limite \lim_{x\to 1}f(x) não existe como número finito. Dizemos que a função diverge para infinito em x=1.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to -1} f(x).
Explicação didática: para x próximos de -1 (mas distintos de -1) também podemos usar a forma simplificada \dfrac{1}{x-1} porque a simplificação foi válida para x\neq -1. Assim o limite é o limite da função contínua g(x)=\dfrac{1}{x-1} quando x\to -1. Substituindo:
\lim_{x\to -1} f(x)=\lim_{x\to -1}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{-1-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.
Portanto o limite existe e vale -\tfrac{1}{2}. Como a função original não está definida em x=-1, essa é uma descontinuidade removível (há um “buraco” no ponto (-1,-\tfrac{1}{2})).

Passo 6

Existência de assíntota vertical.
Explicação didática: uma reta vertical x=a é assíntota vertical se a função tende a \pm\infty quando x se aproxima de a por pelo menos um lado. Em x=1 vimos que as aproximações laterais divergem ( +\infty e -\infty), logo existe assíntota vertical em x=1. Em x=-1 o limite é finito ( -\tfrac{1}{2}), então não há assíntota vertical em x=-1. Conclusão: existe assíntota vertical dada por
x=1.

Passo 7

Existência de assíntota horizontal.
Explicação didática: assíntota horizontal é uma reta y=L tal que \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L. Para funções racionais, quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador, a assíntota horizontal é y=0. Vamos calcular:
\lim_{x\to \infty} f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x^{2}-1}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)=0.
Portanto há assíntota horizontal
y=0.

Passo 8

Discussão da continuidade.
Explicação didática: a função é contínua em todos os pontos do domínio porque é uma função racional sem denominação zero nesses pontos. Os únicos pontos problemáticos são x=1 e x=-1:
  • Em x=1: não existe limite finito (diverge), logo há uma descontinuidade essencial (ou descontinuidade infinita); a função tem assíntota vertical em x=1.
  • Em x=-1: o limite existe e é -\tfrac{1}{2}, mas f(-1) não está definido; isso é uma descontinuidade removível. Se definíssemos f(-1)=-\tfrac{1}{2}, a função ficaria contínua em -1.
    Resumo: contínua em \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}; descontinuidade removível em x=-1; descontinuidade infinita em x=1.

Passo 9

Esboço do gráfico (descrição e pontos importantes).
Explicação didática e passo-a-passo para desenhar na prova:
  1. Para x\neq -1 a curva coincide com y=\dfrac{1}{x-1}. Então o gráfico tem a mesma forma hiperbólica deslocada uma unidade à direita da hipérbole y=\dfrac{1}{x}.
  2. Assíntotas: vertical x=1 e horizontal y=0. Marque essas retas no desenho.
  3. No ponto (-1,-\tfrac{1}{2}) há um buraco (ponto removido). Marque o ponto vazio ali.
  4. Alguns pontos para posicionar a curva:
f(0)=\frac{1}{-1}=-1,\qquad f(2)=\frac{3}{3}=1,\qquad f(-2)=\frac{-1}{3}=-\tfrac{1}{3}.
  1. Comportamento perto de x=1: à esquerda a função vai para -\infty; à direita vai para +\infty. Para x\to+\infty a curva se aproxima de y=0 por cima (valores positivos pequenos). Para x\to-\infty aproxima-se de y=0 por baixo (valores negativos pequenos).
  2. Assim, na prática, desenhe a hipérbole y=\dfrac{1}{x-1}, apague o ponto em x=-1 e marque um pequeno círculo vazio em (-1,-\tfrac{1}{2}). Isso representa corretamente o gráfico da função pedida.

Resposta

a) \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.
b) \displaystyle \lim_{x\to 1}f(x) não existe (diverge; \lim_{x\to1^-}=-\infty, \lim_{x\to1^+}=+\infty).
c) \displaystyle \lim_{x\to -1}f(x)=-\tfrac{1}{2}.
d) Sim: assíntota vertical x=1.
e) Sim: assíntota horizontal y=0.
f) f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}; em x=-1 há descontinuidade removível (limite -\tfrac{1}{2} mas f(-1) indefinido); em x=1 há descontinuidade infinita (assíntota vertical).
g) Gráfico: coincide com y=\dfrac{1}{x-1} para x\neq -1, tem assíntotas x=1 e y=0, e apresenta um buraco em (-1,-\tfrac{1}{2}); pontos de referência f(0)=-1, f(2)=1, f(-2)=-\tfrac{1}{3}.

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