- Dada a função
a) Determine o domínio da função.
b) Existe
? Justifique.
c) Existe
? Justifique.
d) Existe assíntota vertical? Se sim, qual a reta?
e) Existe assíntota horizontal? Se sim, qual a reta?
f) Discuta a continuidade da função.
g) Esboce o gráfico.
a) Determine o domínio da função.
b) Existe
c) Existe
d) Existe assíntota vertical? Se sim, qual a reta?
e) Existe assíntota horizontal? Se sim, qual a reta?
f) Discuta a continuidade da função.
g) Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as seguintes coisas:
a) determinar o domínio de ;
b) verificar se existe e justificar;
c) verificar se existe e justificar;
d) dizer se existe assíntota vertical e, se existir, qual é a reta;
e) dizer se existe assíntota horizontal e, se existir, qual é a reta;
f) discutir a continuidade de (onde é contínua e que tipo de descontinuidade em
);
g) esboçar o gráfico (descrever forma, assíntotas e pontos importantes).
Informações relevantes do enunciado: a expressão algébrica e que devemos tratar limites, assíntotas, continuidade e esboço do gráfico.
a) determinar o domínio de
b) verificar se
c) verificar se
d) dizer se existe assíntota vertical e, se existir, qual é a reta;
e) dizer se existe assíntota horizontal e, se existir, qual é a reta;
f) discutir a continuidade de
g) esboçar o gráfico (descrever forma, assíntotas e pontos importantes).
Informações relevantes do enunciado: a expressão algébrica
Passo 2
Determinar o domínio.
Explicação didática: o domínio de uma função racional é o conjunto de
tais que o denominador
não é zero (pois divisão por zero não está definida). Aqui o denominador é
. Vamos achar onde ele zera.
Explicação didática: o domínio de uma função racional
Portanto os valores
e
não pertencem ao domínio. Logo o domínio é
Passo 3
Simplificação algébrica útil para limites e gráfico.
Explicação didática: fatoramos o denominador e, quando permitido (isto é, para ), cancelamos fatores comuns para simplificar a expressão em vizinhanças onde isso é válido.
Explicação didática: fatoramos o denominador e, quando permitido (isto é, para
então, para
,
Observação importante: essa identidade vale para todos
tais que
(e também
porque a função original não está definida em
). Em palavras: fora dos pontos
, o gráfico de
coincide com o de
, mas nos pontos
devemos lembrar das indeterminações/remoções.
Passo 4
Calcular
.
Explicação didática: para próximos de
(mas distintos de
) podemos usar a forma simplificada
. Avaliamos o comportamento nas duas aproximações laterais.
Explicação didática: para
- Para
temos , então . - Para
temos , então .
Como as duas limites laterais são divergentes e não coincidem (um vai parae o outro para ), o limite não existe como número finito. Dizemos que a função diverge para infinito em .
Passo 5
Calcular
.
Explicação didática: para próximos de
(mas distintos de
) também podemos usar a forma simplificada
porque a simplificação foi válida para
. Assim o limite é o limite da função contínua
quando
. Substituindo:
Explicação didática: para
Portanto o limite existe e vale
. Como a função original não está definida em
, essa é uma descontinuidade removível (há um “buraco” no ponto
).
Passo 6
Existência de assíntota vertical.
Explicação didática: uma reta vertical é assíntota vertical se a função tende a
quando
se aproxima de
por pelo menos um lado. Em
vimos que as aproximações laterais divergem (
e
), logo existe assíntota vertical em
. Em
o limite é finito (
), então não há assíntota vertical em
. Conclusão: existe assíntota vertical dada por
Explicação didática: uma reta vertical
Passo 7
Existência de assíntota horizontal.
Explicação didática: assíntota horizontal é uma reta tal que
. Para funções racionais, quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador, a assíntota horizontal é
. Vamos calcular:
Explicação didática: assíntota horizontal é uma reta
Portanto há assíntota horizontal
Passo 8
Discussão da continuidade.
Explicação didática: a função é contínua em todos os pontos do domínio porque é uma função racional sem denominação zero nesses pontos. Os únicos pontos problemáticos são e
:
Explicação didática: a função é contínua em todos os pontos do domínio porque é uma função racional sem denominação zero nesses pontos. Os únicos pontos problemáticos são
- Em
: não existe limite finito (diverge), logo há uma descontinuidade essencial (ou descontinuidade infinita); a função tem assíntota vertical em . - Em
: o limite existe e é , mas não está definido; isso é uma descontinuidade removível. Se definíssemos , a função ficaria contínua em .
Resumo: contínua em; descontinuidade removível em ; descontinuidade infinita em .
Passo 9
Esboço do gráfico (descrição e pontos importantes).
Explicação didática e passo-a-passo para desenhar na prova:
Explicação didática e passo-a-passo para desenhar na prova:
- Para
a curva coincide com . Então o gráfico tem a mesma forma hiperbólica deslocada uma unidade à direita da hipérbole . - Assíntotas: vertical
e horizontal . Marque essas retas no desenho. - No ponto
há um buraco (ponto removido). Marque o ponto vazio ali. - Alguns pontos para posicionar a curva:
- Comportamento perto de
: à esquerda a função vai para ; à direita vai para . Para a curva se aproxima de por cima (valores positivos pequenos). Para aproxima-se de por baixo (valores negativos pequenos). - Assim, na prática, desenhe a hipérbole
, apague o ponto em e marque um pequeno círculo vazio em . Isso representa corretamente o gráfico da função pedida.
Resposta
a)
.
b) não existe (diverge;
,
).
c)
d) Sim: assíntota vertical .
e) Sim: assíntota horizontal .
f) é contínua em
; em
há descontinuidade removível (limite
mas
indefinido); em
há descontinuidade infinita (assíntota vertical).
g) Gráfico: coincide com para
, tem assíntotas
e
, e apresenta um buraco em
; pontos de referência
,
,
.
b)
c)
d) Sim: assíntota vertical
e) Sim: assíntota horizontal
f)
g) Gráfico: coincide com