Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas importantes:
e o comportamento pedido é quando
tende a
. Nenhuma outra informação (como figura) é necessária.
Passo 2
Vamos entender a ideia que vamos usar (explicação didática).
Quando temos uma fração de polinômios (uma função racional), para muito grande em módulo os termos de menor grau viram “coadjuvantes” — o termo de maior grau domina o comportamento. Ou seja, o comportamento da fração para
é decidido pelos termos de maior grau do numerador e do denominador.
Quando temos uma fração de polinômios (uma função racional), para
Aqui o grau do denominador é maior (
) que o do numerador (
). Em termos intuitivos, o denominador cresce (em módulo) mais rápido que o numerador quando
cresce, então a fração tende a zero. Vou mostrar isso de forma algébrica passo a passo para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Formalizo essa ideia factorizando a maior potência de
que aparece no denominador, que é
. Podemos escrever numerador e denominador divididos por
(válido para
):
Note que aqui apenas reescrevemos a mesma expressão: multiplicamos e dividimos por
. Não há problema em fatorar
mesmo para
negativo, porque é uma manipulação algébrica válida para
.
Passo 4
Cancelamos o fator comum
:
Agora analisamos o limite termo a termo quando
. Para qualquer inteiro
tem-se
quando
. Portanto:
Passo 5
Substituindo os limites dos termos na expressão simplificada, obtemos
Uma observação útil para prova: mesmo que alguns termos individuais (como
) sejam negativos para
, eles tendem a
, e o denominador tende para
, então o quociente tende a
.