Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{8 x^{13}-2 x^{3}+3}{10 x^{14}+5 x^{2}-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{8x^{13}-2x^{3}+3}{10x^{14}+5x^{2}-2}.
Informações dadas importantes:
\text{numerador} = 8x^{13}-2x^{3}+3,\quad \text{grau do numerador} = 13,
\text{denominador} = 10x^{14}+5x^{2}-2,\quad \text{grau do denominador} = 14,
e o comportamento pedido é quando x tende a -\infty. Nenhuma outra informação (como figura) é necessária.

Passo 2

Vamos entender a ideia que vamos usar (explicação didática).
Quando temos uma fração de polinômios (uma função racional), para x muito grande em módulo os termos de menor grau viram “coadjuvantes” — o termo de maior grau domina o comportamento. Ou seja, o comportamento da fração para x\to\pm\infty é decidido pelos termos de maior grau do numerador e do denominador.
Aqui o grau do denominador é maior ( 14) que o do numerador ( 13). Em termos intuitivos, o denominador cresce (em módulo) mais rápido que o numerador quando |x| cresce, então a fração tende a zero. Vou mostrar isso de forma algébrica passo a passo para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Formalizo essa ideia factorizando a maior potência de x que aparece no denominador, que é x^{14}. Podemos escrever numerador e denominador divididos por x^{14} (válido para x\neq0):
\frac{8x^{13}-2x^{3}+3}{10x^{14}+5x^{2}-2} = \frac{x^{14}\!\left(\dfrac{8}{x}-\dfrac{2}{x^{11}}+\dfrac{3}{x^{14}}\right)}{x^{14}\!\left(10+\dfrac{5}{x^{12}}-\dfrac{2}{x^{14}}\right)}.
Note que aqui apenas reescrevemos a mesma expressão: multiplicamos e dividimos por x^{14}. Não há problema em fatorar x^{14} mesmo para x negativo, porque é uma manipulação algébrica válida para x\neq0.

Passo 4

Cancelamos o fator comum x^{14}:
\frac{8x^{13}-2x^{3}+3}{10x^{14}+5x^{2}-2} = \frac{\dfrac{8}{x}-\dfrac{2}{x^{11}}+\dfrac{3}{x^{14}}}{10+\dfrac{5}{x^{12}}-\dfrac{2}{x^{14}}}.
Agora analisamos o limite termo a termo quando x\to -\infty. Para qualquer inteiro k>0 tem-se \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to -\infty. Portanto:
\dfrac{8}{x}\to 0,\quad \dfrac{2}{x^{11}}\to 0,\quad \dfrac{3}{x^{14}}\to 0,\quad \dfrac{5}{x^{12}}\to 0,\quad \dfrac{2}{x^{14}}\to 0.

Passo 5

Substituindo os limites dos termos na expressão simplificada, obtemos
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{8}{x}-\dfrac{2}{x^{11}}+\dfrac{3}{x^{14}}}{10+\dfrac{5}{x^{12}}-\dfrac{2}{x^{14}}} = \frac{0-0+0}{10+0-0} = \frac{0}{10} = 0.
Uma observação útil para prova: mesmo que alguns termos individuais (como \dfrac{8}{x}) sejam negativos para x\to -\infty, eles tendem a 0, e o denominador tende para 10>0, então o quociente tende a 0.

Resposta

0

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