Seja f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x+1, x \leq 2 \\\ x^{2}-5 x+6, x>2\end{array}\right.. Calcule:
\lim _{x \rightarrow-3^{-}} f(x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de \lim_{x\to -3^{-}} f(x), onde a função f é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x+1, & x\leq 2,\\[4pt] x^{2}-5x+6, & x>2. \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • A função é definida por duas expressões, uma válida para x\leq 2 e outra para x>2.
  • O ponto onde queremos o limite é x=-3.
  • A notação \lim_{x\to -3^{-}} f(x) indica que nos aproximamos de -3 pela esquerda (valores menores que -3).]

Passo 2

O que significa “limite pela esquerda”?
A expressão \lim_{x\to a^{-}} f(x) significa que estamos olhando para os valores de f(x) quando x se aproxima de a por valores menores que a (isto é, x<a). Em termos práticos: para calcular \lim_{x\to -3^{-}} f(x) consideramos valores de x como -3{,}1, -3{,}01, -3{,}001, etc., que ficam à esquerda de -3.

Passo 3

Determinar qual ramo da função usar quando x se aproxima de -3 pela esquerda.
Se x está próximo de -3 pela esquerda, então esses x satisfazem x< -3. Note que -3<2, logo qualquer x suficientemente perto de -3 (pela esquerda) também satisfaz x\leq 2. Portanto, a expressão que vale para esses pontos é a primeira: 2x+1. Conclusão: ao calcular \lim_{x\to -3^{-}} f(x) devemos usar f(x)=2x+1.

Passo 4

Calcular o limite usando o ramo correto.
Temos
\lim_{x\to -3^{-}} f(x)=\lim_{x\to -3^{-}} (2x+1).
Agora uma observação importante (aula rápida): polinômios e funções lineares como 2x+1 são contínuos em todo ponto, o que significa que o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto. Assim podemos substituir x=-3 diretamente:
\lim_{x\to -3^{-}} (2x+1)=2\cdot(-3)+1.
Faça a conta passo a passo: 2\cdot(-3)=-6 e -6+1=-5.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida.
Concluímos que a aproximação pela esquerda usa o ramo 2x+1 e, por continuidade, o limite é -5. Faz sentido: se você pegar valores como x=-3{,}1 e calcular 2x+1, obterá números próximos de -5, confirmando a consistência.

Resposta

-5

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