1. Determine \operatorname{dim} \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \dim \mathcal{L}\big(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\big).
Informações fornecidas:
  • O espaço de partida é \mathbb{R}^{2} (dimensão 2).
  • O espaço de chegada é \mathbb{R}^{3} (dimensão 3).
  • \mathcal{L}\big(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\big) é o conjunto de todas as aplicações lineares de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Entender a estrutura de \mathcal{L}\big(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\big): toda aplicação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} é totalmente determinada pelas imagens dos vetores de uma base de \mathbb{R}^{2}. Tome a base padrão de \mathbb{R}^{2}
\(e_{1},e_{2})
e a base padrão de \mathbb{R}^{3}
\(u_{1},u_{2},u_{3}).
Então T é determinado por T(e_{1}) e T(e_{2}), e cada um desses é um vetor qualquer de \mathbb{R}^{3}, i.e. tem três coordenadas. Logo, para especificar T precisamos de 2 vetores em \mathbb{R}^{3}, isto é, de 2\times 3=6 escalares.

Passo 3

Representação matricial (idéia prática): associar a cada T a matriz 3\times2 cujas colunas são as coordenadas de T(e_{1}) e T(e_{2}) na base (u_{1},u_{2},u_{3}). Cada entrada da matriz é um parâmetro livre, então o espaço de todas essas matrizes tem 3\cdot 2=6 entradas — isso já sugere dimensão 6.

Passo 4

Construção explícita de uma base de \mathcal{L}\big(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\big): para i\in\{1,2,3\} e j\in\{1,2\}, defina a aplicação linear A_{ij} por
A_{ij}(e_{j})=u_{i},\qquad A_{ij}(e_{k})=0\\ \text{se }k\neq j.
Na forma de matriz, A_{ij} corresponde à matriz 3\times2 que tem 1 na posição (i,j) e zeros nas outras entradas (as matrizes canônicas com um único 1). Há exatamente 3\times2=6 dessas aplicações \{A_{ij}\}.

Passo 5

Provar que \{A_{ij}\} é uma base (ou seja, gera e é linearmente independente).
  • Geração (span): seja T\in\mathcal{L}\big(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\big). Escreva
T(e_{1})=\sum_{i=1}^{3}a_{i1}u_{i},\qquad T(e_{2})=\sum_{i=1}^{3}a_{i2}u_{i}.
Então
T=\sum_{i=1}^{3}\big(a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}\big),
porque ambas as aplicações coincidem nas bases e_{1},e_{2} e, por linearidade, coincidem em todo \mathbb{R}^{2}. Assim qualquer T é combinação linear das A_{ij}.
  • Independência linear: suponha
\sum_{i=1}^{3}\big(c_{i1}A_{i1}+c_{i2}A_{i2}\big)=0\\ (\text{aplicação zero}).çã
Aplicando essa combinação ao e_{1} obtemos \sum_{i=1}^{3}c_{i1}u_{i}=0. Como (u_{1},u_{2},u_{3}) é base, todos c_{i1}=0. Aplicando ao e_{2} obtemos \sum_{i=1}^{3}c_{i2}u_{i}=0, então todos c_{i2}=0. Logo todos os coeficientes são zero, provando independência linear.

Passo 6

Conclusão: \{A_{ij}\} é uma base de \mathcal{L}\big(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\big) com 3\cdot 2=6 elementos. Portanto a dimensão do espaço é 6. Mais geral: \dim\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})=m n.

Resposta

\dim \mathcal{L}\big(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\big)=6

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