- Determine
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
.
Informações fornecidas:
- O espaço de partida é
(dimensão ). - O espaço de chegada é
(dimensão ). -
é o conjunto de todas as aplicações lineares de em .
Passo 2
Entender a estrutura de
: toda aplicação linear
é totalmente determinada pelas imagens dos vetores de uma base de
. Tome a base padrão de
)
e a base padrão de
).
Então é determinado por
e
, e cada um desses é um vetor qualquer de
, i.e. tem três coordenadas. Logo, para especificar
precisamos de
vetores em
, isto é, de
escalares.
)
e a base padrão de
).
Então
Passo 3
Representação matricial (idéia prática): associar a cada
a matriz
cujas colunas são as coordenadas de
e
na base
. Cada entrada da matriz é um parâmetro livre, então o espaço de todas essas matrizes tem
entradas — isso já sugere dimensão
.
Passo 4
Construção explícita de uma base de
: para
e
, defina a aplicação linear
por
Na forma de matriz,
corresponde à matriz
que tem
na posição
e zeros nas outras entradas (as matrizes canônicas com um único 1). Há exatamente
dessas aplicações
.
Passo 5
Provar que
é uma base (ou seja, gera e é linearmente independente).
- Geração (span): seja
. Escreva
Então
porque ambas as aplicações coincidem nas bases
e, por linearidade, coincidem em todo
. Assim qualquer
é combinação linear das
.
- Independência linear: suponha
Aplicando essa combinação ao
obtemos
. Como
é base, todos
. Aplicando ao
obtemos
, então todos
. Logo todos os coeficientes são zero, provando independência linear.
Passo 6
Conclusão:
é uma base de
com
elementos. Portanto a dimensão do espaço é
. Mais geral:
.