Seja
A=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\\\ 6 & 4 & 5 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right]
(a) Ache matrizes elementares E_{1}, E_{2}, E_{3} tais que
E_{3} E_{2} E_{1} A=U
onde Z^{\prime} é uma matriz triangular superior.
(b) Determine as inversas de E_{1}, E_{2}, E_{3} e faça L=E_{1}^{-} E_{2}^{-1} E_{3}^{-1}. Que tipo de matriz é L ? Verifique que A=L U.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]6 & 4 & 5\\[4pt]4 & 1 & 3\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar matrizes elementares E_{1},E_{2},E_{3} tais que
E_{3}E_{2}E_{1}A=U,
onde U é uma matriz triangular superior.
  • (b) Determinar as inversas E_{1}^{-1},E_{2}^{-1},E_{3}^{-1}, calcular
L=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1},
dizer que tipo de matriz é L e verificar que A=LU.
As informações relevantes dadas são apenas os elementos de A acima e as operações pedidas. Não há figura nem dados adicionais.]

Passo 2

Antes de começar a eliminar, vamos lembrar de forma simples o que é uma matriz elementar: cada matriz elementar corresponde a uma operação elementar sobre linhas (quando premultiplica uma matriz). Em particular, uma operação do tipo
\text{linha }i \leftarrow \text{linha }i + k\cdot\text{linha }j
corresponde à matriz elementar obtida a partir da identidade I colocando o escalar k na posição (i,j). Exemplo genérico para 3\times3:
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] k & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{(isso realiza }R_2\leftarrow R_2+kR_1\text{ ao multiplicar }E\cdot A\text{).}
A inversa dessa matriz elementar é a mesma com -k na posição (i,j), porque aplicar a operação inversa é adicionar -k vezes a linha usada.
Vamos usar essas operações para transformar A em uma matriz triangular superior U (eliminação de Gauss), e registrar as matrizes elementares que realizam cada etapa.]

Passo 3

Escolhemos como primeiro pivô o elemento \,a_{11}=2. Queremos zerar as entradas abaixo dele: a_{21}=6 e a_{31}=4.
Operações planejadas:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
A primeira operação R_2\leftarrow R_2-3R_1 corresponde à matriz elementar E_1 obtida colocando -3 em (2,1):
E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-3 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Vamos aplicar E_1 a A. Calculando E_1A (mostrando o efeito sobre as linhas):
E_{1}A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-3 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]6 & 4 & 5\\[4pt]4 & 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 6-3\cdot 2 & 4-3\cdot 1 & 5-3\cdot 1\\[4pt] 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]4 & 1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora fazemos a segunda operação da primeira coluna: R_3\leftarrow R_3-2R_1. A matriz elementar correspondente é
E_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]-2 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando E_2 ao resultado anterior:
E_{2}(E_{1}A)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]-2 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]4 & 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 4-2\cdot 2 & 1-2\cdot 1 & 3-2\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]0 & -1 & 1\end{pmatrix}.
Agora a primeira coluna está zerada abaixo do pivô 2.]

Passo 5

Precisamos agora zerar o elemento (3,2)=-1 usando o pivô da segunda linha a_{22}=1. A operação é
R_3 \leftarrow R_3 + 1\cdot R_2.
A matriz elementar correspondente é
E_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando E_3 ao resultado anterior:
E_{3}E_{2}E_{1}A= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]0 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Chamamos essa matriz triangular superior de
U=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix}.
Assim, de fato E_{3}E_{2}E_{1}A=U.]

Passo 6

Resumindo as matrizes elementares encontradas (cada uma corresponde à operação indicada):
E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-3 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad E_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]-2 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad E_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora as inversas. Como cada E_i é do tipo “adicionar k vezes uma linha a outra”, a inversa é obtida trocando o sinal de k. Portanto:
E_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad E_{2}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad E_{3}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & -1 & 1\end{pmatrix}.
Explicando rápido: por exemplo E_1 fazia R_2\leftarrow R_2-3R_1; para desfazer faz-se R_2\leftarrow R_2+3R_1, que é E_1^{-1}.]

Passo 8

Calculemos L=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1} passo a passo.
Primeiro M=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}:
E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Agora L=M E_{3}^{-1}:
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]2 & -1 & 1\end{pmatrix}.
Portanto
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]2 & -1 & 1\end{pmatrix}.
Note que L é uma matriz triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a 1 (chamada frequentemente de matriz unitária inferior ou simplesmente “triangular inferior unipotente”).]

Passo 9

Verificação de que A=LU. Vamos multiplicar L por U:
L U= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]2 & -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 6 & 4 & 5\\[4pt] 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}=A.
Os cálculos linha a linha confirmam que L U coincide com A, como pedido.]

Resposta

E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-3 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad E_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]-2 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad E_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}
E_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad E_{2}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad E_{3}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & -1 & 1\end{pmatrix}
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]2 & -1 & 1\end{pmatrix}\quad\text{(matriz triangular inferior com 1's na diagonal)}
U=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 2\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix}
\text{Verificação: }A=LU.çã]

Exercícios relacionados