Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}, \text{ se } x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\\ 0, \text{ se } x^{2}+y^{2}>1\end{array}\right.. Verifique onde f é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} x^{2}+y^{2},&\text{se }x^{2}+y^{2}\le1,\\\\ 0,&\text{se }x^{2}+y^{2}>1. \end{cases}
O conteúdo é continuidade em \mathbb{R}^{2} de função por partes. Vamos verificar a continuidade em cada região e depois na fronteira x^{2}+y^{2}=1.

Passo 2

Se (x_{0},y_{0}) satisfaz x_{0}^{2}+y_{0}^{2}<1, então existe uma vizinhança em que x^{2}+y^{2}<1 e, nessa região,
f(x,y)=x^{2}+y^{2},
que é polinomial em (x,y) e, portanto, contínuo. Logo, f é contínua em todo ponto com x^{2}+y^{2}<1.

Passo 3

Se (x_{0},y_{0}) satisfaz x_{0}^{2}+y_{0}^{2}>1, então existe uma vizinhança em que x^{2}+y^{2}>1 e, nessa região,
f(x,y)=0,
que é constante e, portanto, contínua. Logo, f é contínua em todo ponto com x^{2}+y^{2}>1.

Passo 4

Considere um ponto (x_{0},y_{0}) na fronteira x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.
Do interior do disco x^{2}+y^{2}<1 temos
\lim_{\substack{(x,y)\to(x_{0},y_{0})\x^{2}+y^{2}<1}}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}(x^{2}+y^{2}) =1.
Do exterior x^{2}+y^{2}>1 temos
\lim_{\substack{(x,y)\to(x_{0},y_{0})\x^{2}+y^{2}>1}}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}0 =0.
Por outro lado, no próprio ponto da fronteira f(x_{0},y_{0})=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1. Como o limite vindo de fora difere de f(x_{0},y_{0}), f é descontínua em todo ponto com x^{2}+y^{2}=1.

Resposta

A função f é contínua nos pontos que satisfazem x^{2}+y^{2}<1 e em todos os pontos que satisfazem x^{2}+y^{2}>1, e é descontínua em toda a circunferência x^{2}+y^{2}=1.

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