Usando a fórmula de De Moivre, calculem as potências:
(1-i)^{3}

Passo 1

Vamos nessa! O exercício pede para calcular (1 - i)^3 usando a fórmula de De Moivre, ou seja, primeiro a gente passa o número para forma trigonométrica e aí aplica
[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr).

Passo 2

Primeiro, o módulo de 1 - i:
r = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Passo 3

Agora o argumento \theta. Como 1 - i está no quarto quadrante (parte real positiva e imaginária negativa),
\theta = -\frac{\pi}{4}.

Passo 4

A forma trigonométrica fica
1 - i = \sqrt{2}\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) + i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr).

Passo 5

Partiu aplicar De Moivre:
(1 - i)^3 = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^3\Bigl(\cos\bigl(3\cdot(-\tfrac{\pi}{4})\bigr) + i\sin\bigl(3\cdot(-\tfrac{\pi}{4})\bigr)\Bigr) = 2\sqrt{2}\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr) + i\sin\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)\Bigr).

Passo 6

Só falta usar os valores trigonométricos: \cos(-\tfrac{3\pi}{4}) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(-\tfrac{3\pi}{4}) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Logo
(1 - i)^3 = 2\sqrt{2}\Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} - i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = -2 - 2i.

Resposta

-2 - 2i

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