Dado que x, x^{2} e 1 / x são soluções da equação homogênea associada a
x^{3} y^{\prime \prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=2 x^{4}, \quad x>0,
determine uma solução particular.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{3}y^{\prime\prime\prime}+x^{2}y^{\prime\prime}-2x y^{\prime}+2y=2x^{4},\qquad x>0,
e informa que as funções x, x^{2} e 1/x são soluções da equação homogênea associada. A tarefa é determinar uma solução particular da equação não homogênea (ou seja, encontrar alguma função y_{p}(x) que satisfaça a equação completa).
Informações relevantes:
  • Equação linear de terceira ordem com coeficientes que são potências de x.
  • Soluções da homogênea: x, x^{2}, 1/x.
  • Termo não homogêneo (forçamento): 2x^{4}.

Passo 2

Por que tentar uma solução da forma y_p = A x^{4} (com A constante)? Uma observação prática e útil: quando a equação tem coeficientes do tipo x^{k} multiplicando derivadas (como aqui) é comum que potências x^{p} sejam mapeadas para múltiplos de x^{p} pelo operador diferencial. O lado direito é uma potência x^{4}, então uma boa aposta (uma tentativa simples) é procurar uma solução particular entre funções da mesma forma: y_p = A x^{4}. Isso é rápido de testar e muitas vezes funciona — e aqui é uma escolha natural porque as soluções homogêneas dadas são potências de x, então a ação do operador sobre potências é especialmente simples.

Passo 3

Vamos calcular de forma geral como o operador age sobre x^{p}. Seja y(x)=x^{p}. As derivadas são:
y' = p x^{p-1},\qquad y'' = p(p-1)x^{p-2},\qquad y''' = p(p-1)(p-2)x^{p-3}.
Substituindo na expressão do operador:
\begin{aligned} L[x^{p}] &= x^{3}y''' + x^{2}y'' - 2x y' + 2y \\\ &= x^{3}\bigl(p(p-1)(p-2)x^{p-3}\bigr) + x^{2}\bigl(p(p-1)x^{p-2}\bigr) - 2x\bigl(p x^{p-1}\bigr) + 2x^{p}. \end{aligned}
Fatorando x^{p} obtemos
L[x^{p}] = \bigl(p(p-1)(p-2) + p(p-1) - 2p + 2\bigr) x^{p}.
Agora simplificamos o polinômio em p. Somando os termos:
p(p-1)(p-2) + p(p-1) - 2p + 2 = p^{3}-2p^{2}-p+2.
Esse polinômio fatora em raízes p=1,2,-1 (coerente com as soluções homogêneas dadas), portanto
p^{3}-2p^{2}-p+2 = (p-1)(p-2)(p+1).
Assim concluímos a fórmula útil
L[x^{p}] = (p-1)(p-2)(p+1)\,x^{p}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula para p=4 (porque o termo do lado direito é 2x^{4}):
L[x^{4}] = (4-1)(4-2)(4+1)\,x^{4} = 3\cdot 2 \cdot 5 \, x^{4} = 30\,x^{4}.
Então, se escolhermos y_{p}=A x^{4}, teremos
L[y_{p}] = A\,L[x^{4}] = 30A\,x^{4}.
Queremos L[y_{p}]=2x^{4}, logo
30A\,x^{4} = 2x^{4}\quad\Rightarrow\quad 30A = 2 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}.

Passo 5

Portanto uma solução particular é
y_{p}(x)=\dfrac{1}{15}\,x^{4}.
(Verificação rápida: substituir y_{p} na equação dá L[y_{p}]=30\cdot\dfrac{1}{15}x^{4}=2x^{4}, que coincide com o lado direito.)

Resposta

\displaystyle y_{p}(x)=\dfrac{1}{15}\,x^{4}

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