Dado que
e
são soluções da equação homogênea associada a
determine uma solução particular.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que as funções
,
e
são soluções da equação homogênea associada. A tarefa é determinar uma solução particular da equação não homogênea (ou seja, encontrar alguma função
que satisfaça a equação completa).
Informações relevantes:
- Equação linear de terceira ordem com coeficientes que são potências de
. - Soluções da homogênea:
, , . - Termo não homogêneo (forçamento):
.
Passo 2
Por que tentar uma solução da forma
(com
constante)? Uma observação prática e útil: quando a equação tem coeficientes do tipo
multiplicando derivadas (como aqui) é comum que potências
sejam mapeadas para múltiplos de
pelo operador diferencial. O lado direito é uma potência
, então uma boa aposta (uma tentativa simples) é procurar uma solução particular entre funções da mesma forma:
. Isso é rápido de testar e muitas vezes funciona — e aqui é uma escolha natural porque as soluções homogêneas dadas são potências de
, então a ação do operador sobre potências é especialmente simples.
Passo 3
Vamos calcular de forma geral como o operador age sobre
. Seja
. As derivadas são:
Substituindo na expressão do operador:
Fatorando
obtemos
Agora simplificamos o polinômio em
. Somando os termos:
Esse polinômio fatora em raízes
(coerente com as soluções homogêneas dadas), portanto
Assim concluímos a fórmula útil
Passo 4
Aplicamos a fórmula para
(porque o termo do lado direito é
):
Então, se escolhermos
, teremos
Queremos
, logo
Passo 5
Portanto uma solução particular é
(Verificação rápida: substituir
na equação dá
, que coincide com o lado direito.)