No corpo ordenado \mathbb{R}, exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:
C=\{x \in \mathbb{R} /|x-5|<|x+1|\}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
C=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-5|<|x+1|\}
e pede que esse conjunto seja expresso como reunião (união) de intervalos. Vou listar o que temos:
  • Informação dada: a desigualdade |x-5|<|x+1|.
  • Pedido: determinar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade e escrever o conjunto solução como união de intervalos.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): |x-5| e |x+1| são módulos, isto é, distâncias no eixo real. Ambos são números não negativos para qualquer x. Para comparar módulos podemos usar a propriedade: para A,B\in\mathbb{R} com |A|,|B|\ge0,
|A|<|B|\quad\Longleftrightarrow\quad A^2<B^2,
porque a função t\mapsto t^2 é estritamente crescente em [0,\infty). Assim podemos elevar ao quadrado os dois lados da desigualdade sem perder equivalência. Aqui vamos aplicar essa ideia com A=x-5 e B=x+1.

Passo 3

Elevar ao quadrado a desigualdade (mostrando cada passo):
|x-5|<|x+1|\quad\Longleftrightarrow\quad (x-5)^2<(x+1)^2.

Passo 4

Expandir os dois quadrados e simplificar. Primeiro calcular cada quadrado:
(x-5)^2 = x^2-10x+25,
(x+1)^2 = x^2+2x+1.
Substituindo na desigualdade:
x^2-10x+25 < x^2+2x+1.

Passo 5

Cancelar x^2 dos dois lados e resolver a desigualdade linear resultante:
x^2-10x+25 < x^2+2x+1
\Longrightarrow -10x+25 < 2x+1.
Passando os termos com x para um lado e constantes para o outro:
-10x-2x < 1-25
-12x < -24.
Agora multiplicar por -1 e lembrar que ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo a desigualdade se inverte:
12x > 24.
Dividindo por 12 (positivo) obtém-se
x > 2.

Passo 6

Verificações e interpretação geométrica (para fixar o conceito):
  • Teste rápido: para x=3 tem-se |3-5|=2<|3+1|=4, ok; para x=0 tem-se |0-5|=5\not<|0+1|=1, ok que não pertence. Em x=2 os módulos são iguais ( |2-5|=3=|2+1|), então x=2 não satisfaz a desigualdade estrita.
  • Interpretação geométrica: a desigualdade pede pontos do eixo real cuja distância para 5 seja menor que a distância para -1. O conjunto desses pontos é o semirreta à direita do ponto médio entre 5 e -1. O ponto médio de 5 e -1 é \dfrac{5+(-1)}{2}=2. Assim todos os pontos estritamente à direita de 2 satisfazem a desigualdade.

Resposta

C=(2,\infty)

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