No corpo ordenado
, exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede que esse conjunto seja expresso como reunião (união) de intervalos. Vou listar o que temos:
- Informação dada: a desigualdade
. - Pedido: determinar todos os
que satisfazem essa desigualdade e escrever o conjunto solução como união de intervalos.
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática):
e
são módulos, isto é, distâncias no eixo real. Ambos são números não negativos para qualquer
. Para comparar módulos podemos usar a propriedade: para
com
,
porque a função
é estritamente crescente em
. Assim podemos elevar ao quadrado os dois lados da desigualdade sem perder equivalência. Aqui vamos aplicar essa ideia com
e
.
Passo 3
Elevar ao quadrado a desigualdade (mostrando cada passo):
Passo 4
Expandir os dois quadrados e simplificar. Primeiro calcular cada quadrado:
Substituindo na desigualdade:
Passo 5
Cancelar
dos dois lados e resolver a desigualdade linear resultante:
Passando os termos com
para um lado e constantes para o outro:
Agora multiplicar por
e lembrar que ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo a desigualdade se inverte:
Dividindo por
(positivo) obtém-se
Passo 6
Verificações e interpretação geométrica (para fixar o conceito):
- Teste rápido: para
tem-se , ok; para tem-se , ok que não pertence. Em os módulos são iguais ( ), então não satisfaz a desigualdade estrita. - Interpretação geométrica: a desigualdade pede pontos do eixo real cuja distância para
seja menor que a distância para . O conjunto desses pontos é o semirreta à direita do ponto médio entre e . O ponto médio de e é . Assim todos os pontos estritamente à direita de satisfazem a desigualdade.