Seja
um ponto de
em coordenadas canônicas. Determine as coordenadas de
no sistema de coordenadas
que tem como origem o ponto
e como base os vetores
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o ponto em coordenadas canônicas
. Observe que , então podemos pensar em . - Dá a nova origem
. - Dá a nova base formada pelos vetores
- O pedido: determinar as coordenadas de
relativas ao sistema ; isto é, encontrar escalares tais que
Passo 2
Montar o vetor que vai de
até
. Esse vetor é
. Calculemos componente a componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Logo, em coordenadas canônicas
Passo 3
Verificamos (rápido) que
formam uma base ortonormal: cada
tem norma
e são mutuamente ortogonais (produtos escalares entre pares são
). Para bases ortonormais há uma vantagem prática: se
então os coeficientes são obtidos por produtos escalares simples:
Explico por que (curto): como
, fazendo produto escalar de
com
só sobrevive o termo
, dando
.
Passo 4
Calcular
. Use
Então
Passo 5
Calcular
. Use
Compute term a term:
Agora simplificamos passo a passo (usar
):
Somando:
Passo 6
Calcular
. Como
, tem-se