Seja P=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3 \sqrt{3}}{3},-\sqrt{2}\right) um ponto de \mathbb{R}^{3} em coordenadas canônicas. Determine as coordenadas de P no sistema de coordenadas \left\{O^{\prime}, u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} que tem como origem o ponto O^{\prime}=(\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{2}) e como base os vetores u_{1}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right), u_{2}=\left(\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) e u_{3}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o ponto em coordenadas canônicas \displaystyle P=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{3},-\sqrt{2}\right). Observe que \displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3}, então podemos pensar em P=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\sqrt{3},-\sqrt{2}\right).
  • Dá a nova origem \displaystyle O'=(\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2}).
  • Dá a nova base formada pelos vetores u_{1}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right),\qquad u_{2}=\left(\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{3}\right),\qquad u_{3}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right).
  • O pedido: determinar as coordenadas de P relativas ao sistema \{O',u_1,u_2,u_3\}; isto é, encontrar escalares a,b,c tais que P = O' + a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3.

Passo 2

Montar o vetor que vai de O' até P. Esse vetor é \displaystyle v = P - O'. Calculemos componente a componente:
  • Primeira componente: -\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}.
  • Segunda componente: -\sqrt{3} - \sqrt{2}.
  • Terceira componente: -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}.
Logo, em coordenadas canônicas
v = P - O' = \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\; -\sqrt{3}-\sqrt{2},\; -2\sqrt{2}\right).

Passo 3

Verificamos (rápido) que u_1,u_2,u_3 formam uma base ortonormal: cada u_i tem norma 1 e são mutuamente ortogonais (produtos escalares entre pares são 0). Para bases ortonormais há uma vantagem prática: se
v = a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3,
então os coeficientes são obtidos por produtos escalares simples:
a = v\cdot u_1,\qquad b = v\cdot u_2,\qquad c = v\cdot u_3.
Explico por que (curto): como u_i\cdot u_j=\delta_{ij}, fazendo produto escalar de v com u_k só sobrevive o termo k, dando v\cdot u_k = a_k.

Passo 4

Calcular a = v\cdot u_1. Use
u_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right),\qquad v=\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},- \sqrt{3}-\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right).
Então
\begin{aligned} a &= \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(-\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(-2\sqrt{2}\right)\cdot 0\\[4pt] &= -\frac{3\cdot 2}{4} + \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})\sqrt{2}}{2}\\[4pt] &= -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6}+2}{2}\\[4pt] &= \frac{\sqrt{6}-1}{2}. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular b = v\cdot u_2. Use
u_2=\left(\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{3}\right).
Compute term a term:
\begin{aligned} b &= \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + \left(-\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + \left(-2\sqrt{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right). \end{aligned}
Agora simplificamos passo a passo (usar \sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3}):
\begin{aligned} \text{primeiro termo} &= -\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6} = -\frac{3\cdot 2\sqrt{3}}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2},\\[4pt] \text{segundo termo} &= \left(-\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\frac{\sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3},\\[4pt] \text{terceiro termo} &= -2\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{3}. \end{aligned}
Somando:
\begin{aligned} b &= -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}\\[4pt] &= -\frac{\sqrt{2}}{2} +\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)\\[4pt] &= -\frac{\sqrt{2}}{2} +\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] &= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}]

Passo 6

Calcular c = v\cdot u_3. Como u_3=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), tem-se
\begin{aligned} c &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\!-\frac{3\sqrt{2}}{2} + (-\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2})\!\right)\\[4pt] &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2} -\sqrt{2} -2\sqrt{2} -\sqrt{3}\right)\\[4pt] &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\frac{9\sqrt{2}}{2} -\sqrt{3}\right)\\[4pt] &= -\frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} - 1 = -\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} -1\\[4pt] &= -\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3} -1 = -\frac{3\sqrt{6}}{2} -1. \end{aligned}]

Resposta

\displaystyle \left(\frac{\sqrt{6}-1}{2},\;\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2},\; -1-\frac{3\sqrt{6}}{2}\right)

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