Se A é uma matriz n \times n tal que A^{2}=A, mostre que pelo menos uma das matrizes A ou A-I_{n} não é invertível.

Passo 1

O enunciado fornece que A é uma matriz quadrada n\times n que satisfaz
A^{2}=A.
A pergunta é: mostrar que pelo menos uma das matrizes A ou A-I_{n} não é invertível (ou seja, é singular).
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz n\times n.
  • A^{2}=A.
  • O objetivo é provar que não podem ser ambas invertíveis: pelo menos uma entre A e A-I_{n} é não invertível.

Passo 2

Vou lembrar o que significa “invertível” de um jeito direto e sem drama: uma matriz quadrada M é invertível se existe outra matriz M^{-1} tal que
M M^{-1}=M^{-1}M=I_{n},
onde I_{n} é a matriz identidade n\times n. Se não existe tal matriz inversa, diz-se que M é singular (ou não invertível). Exemplos simples: a matriz nula 0 não é invertível, e I_{n} é invertível com I_{n}^{-1}=I_{n}.

Passo 3

Estratégia simples e direta: fazer uma análise por casos sobre se A é invertível ou não.
Caso 1: se A não é invertível, então já está provado que pelo menos uma das matrizes A ou A-I_{n} não é invertível (é exatamente A). Não precisamos de mais nada nesse caso.

Passo 4

Caso 2: suponha que A é invertível. Como estamos assumindo que A tem inversa, podemos multiplicar a igualdade A^{2}=A por A^{-1}. Multiplicando à esquerda por A^{-1} (ou à direita — aqui funciona de qualquer forma porque a multiplicação é associativa), obtemos:
A^{-1}A^{2}=A^{-1}A.
Pela associatividade, isso é
(A^{-1}A)A = A^{-1}A.
Como A^{-1}A=I_{n}, a igualdade vira
I_{n}A = I_{n}.
Logo
A = I_{n}.

Passo 5

Se A=I_{n}, então
A-I_{n}=I_{n}-I_{n}=0,
ou seja, A-I_{n} é a matriz nula. A matriz nula 0 não é invertível (não existe matriz B tal que 0\cdot B=I_{n}). Portanto, no caso em que A é invertível chegamos à conclusão de que A-I_{n} é não invertível.

Passo 6

Juntando os dois casos: ou A já é não invertível (caso 1), ou A é invertível e então A-I_{n} é não invertível (caso 2). Em qualquer situação, pelo menos uma entre A e A-I_{n} não é invertível. (Se quiser, dá para ver a mesma ideia por autovalores: de A^{2}=A segue que os autovalores satisfazem \lambda^{2}=\lambda, logo \lambda\in\{0,1\}; assim ou 0 é autovalor e A é singular, ou 1 é autovalor e A-I_{n} é singular — mas isso é um complemento, não necessário.)

Resposta

Pelo menos uma das matrizes A ou A-I_{n} não é invertível.

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