Se
é uma matriz
tal que
, mostre que pelo menos uma das matrizes
ou
não é invertível.
Passo 1
O enunciado fornece que
é uma matriz quadrada
que satisfaz
A pergunta é: mostrar que pelo menos uma das matrizes
ou
não é invertível (ou seja, é singular).
Informações relevantes dadas:
-
é uma matriz . -
. - O objetivo é provar que não podem ser ambas invertíveis: pelo menos uma entre
e é não invertível.
Passo 2
Vou lembrar o que significa “invertível” de um jeito direto e sem drama: uma matriz quadrada
é invertível se existe outra matriz
tal que
onde
é a matriz identidade
. Se não existe tal matriz inversa, diz-se que
é singular (ou não invertível). Exemplos simples: a matriz nula
não é invertível, e
é invertível com
.
Passo 3
Estratégia simples e direta: fazer uma análise por casos sobre se
é invertível ou não.
Caso 1: se
não é invertível, então já está provado que pelo menos uma das matrizes
ou
não é invertível (é exatamente
). Não precisamos de mais nada nesse caso.
Passo 4
Caso 2: suponha que
é invertível. Como estamos assumindo que
tem inversa, podemos multiplicar a igualdade
por
. Multiplicando à esquerda por
(ou à direita — aqui funciona de qualquer forma porque a multiplicação é associativa), obtemos:
Pela associatividade, isso é
Como
, a igualdade vira
Logo
Passo 5
Se
, então
ou seja,
é a matriz nula. A matriz nula
não é invertível (não existe matriz
tal que
). Portanto, no caso em que
é invertível chegamos à conclusão de que
é não invertível.
Passo 6
Juntando os dois casos: ou
já é não invertível (caso 1), ou
é invertível e então
é não invertível (caso 2). Em qualquer situação, pelo menos uma entre
e
não é invertível. (Se quiser, dá para ver a mesma ideia por autovalores: de
segue que os autovalores satisfazem
, logo
; assim ou
é autovalor e
é singular, ou
é autovalor e
é singular — mas isso é um complemento, não necessário.)
Resposta
Pelo menos uma das matrizes
ou
não é invertível.