e pede: qual é a soma dos elementos da primeira coluna da inversa A^{-1}.
Informações relevantes que temos:
A matriz A está totalmente especificada (todos os seus elementos).
A pergunta é apenas sobre a soma dos três elementos que formam a primeira coluna de A^{-1}.
Passo 2
Vamos nomear coisas para ficar claro o que queremos calcular.
Seja u o vetor coluna de todos uns:
u=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Seja e_1 o primeiro vetor da base canônica:
e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira coluna de A^{-1} é c_1=A^{-1}e_1.
O objetivo é calcular a soma dos elementos dessa coluna, isto é
S = \text{(soma dos elementos de }c_1)=u^{T}c_1.
Passo 3
Expressando c_1 em termos de A^{-1} obtemos
S = u^{T}c_1 = u^{T}A^{-1}e_1.
Defina o vetor coluna z tal que z^{T}=u^{T}A^{-1}. Então z satisfaz
z^{T}A = u^{T},
que, em forma transposta, é
A^{T}z = u.
Conclusão importante (método): para obter a soma dos elementos da primeira coluna de A^{-1} basta resolver o sistema linear A^{T}z=u e tomar S=z_{1} (o primeiro componente de z). Vou explicar por que: u^{T}A^{-1} é um vetor linha; a sua primeira componente é exatamente u^{T}A^{-1}e_1=u^{T}c_1, que é a soma pedida.