Determine a soma dos elementos da primeira coluna da inversa da matriz abaixo:
\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}
e pede: qual é a soma dos elementos da primeira coluna da inversa A^{-1}.
Informações relevantes que temos:
  • A matriz A está totalmente especificada (todos os seus elementos).
  • A pergunta é apenas sobre a soma dos três elementos que formam a primeira coluna de A^{-1}.

Passo 2

Vamos nomear coisas para ficar claro o que queremos calcular.
  • Seja u o vetor coluna de todos uns:
u=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Seja e_1 o primeiro vetor da base canônica:
e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • A primeira coluna de A^{-1} é c_1=A^{-1}e_1.
    O objetivo é calcular a soma dos elementos dessa coluna, isto é
S = \text{(soma dos elementos de }c_1)=u^{T}c_1.

Passo 3

Expressando c_1 em termos de A^{-1} obtemos
S = u^{T}c_1 = u^{T}A^{-1}e_1.
Defina o vetor coluna z tal que z^{T}=u^{T}A^{-1}. Então z satisfaz
z^{T}A = u^{T},
que, em forma transposta, é
A^{T}z = u.
Conclusão importante (método): para obter a soma dos elementos da primeira coluna de A^{-1} basta resolver o sistema linear A^{T}z=u e tomar S=z_{1} (o primeiro componente de z). Vou explicar por que: u^{T}A^{-1} é um vetor linha; a sua primeira componente é exatamente u^{T}A^{-1}e_1=u^{T}c_1, que é a soma pedida.

Passo 4

Calcule A^{T}. Tomando a transposta de A obtemos
A^{T}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 1 & 2\\\\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Queremos resolver
A^{T}z = u,\qquad z=\begin{pmatrix}x\y\w\end{pmatrix}.

Passo 5

Escrevendo o sistema componente a componente:
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot w = 1,\\[4pt] -1\cdot x + 1\cdot y + 2\cdot w = 1,\\[4pt] -1\cdot x + 1\cdot y + 3\cdot w = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem imediatamente
y=1.]

Passo 6

Substituindo y=1 nas duas últimas equações temos
\begin{cases} - x + 1 + 2w = 1,\\[4pt] - x + 1 + 3w = 1. \end{cases}
Simplificando cada uma:
\begin{cases} - x + 2w = 0,\\[4pt] - x + 3w = 0. \end{cases}]

Passo 7

Subtraindo a primeira dessas duas equações da segunda obtemos
(- x + 3w) - (- x + 2w) = 0 \quad\Rightarrow\quad w = 0.
Com w=0 voltamos a -x + 2w = 0 e obtemos
- x + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
Portanto
z=\begin{pmatrix}x\y\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 8

Lembrando que a soma pedida é S=z_{1} (o primeiro componente de z), concluímos que
S = 0.

Resposta

0

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