Seja A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} tal que a_{i j}=\min \{i, j\}. Encontre a inversa de A pelos seguintes métodos:
operações elementares.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A=(a_{ij})_{3\times3} definida por a_{ij}=\min\{i,j\}, usando operações elementares. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
Pedido: encontrar A^{-1} por operações elementares (Gauss–Jordan).
Informação dada: a_{ij}=\min\{i,j\} para i,j\in\{1,2,3\}.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a matriz A calculando \min\{i,j\} para cada entrada:
Vou inverter A aplicando operações elementares na matriz aumentada [A\mid I].
Breve aula-prática sobre operações elementares:
As operações permitidas em linhas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Essas operações correspondem a multiplicar [A\mid I] pela esquerda por matrizes elementares invertíveis; portanto preservam a equivalência e permitem obter [I\mid A^{-1}] quando A for inversível.
Objetivo do método: transformar a parte esquerda A em I usando operações na linha; a parte direita se transforma em A^{-1}.
Agora a parte esquerda é triangular superior com pivôs 1 nas colunas 1,2,3 (já temos pivôs 1 na coluna 1 e 2, e agora na 3 também). Próxima etapa em Gauss–Jordan: eliminar as entradas acima de cada pivô (fazer zeros acima do pivô da terceira coluna, depois da segunda), transformando a parte esquerda em I_3.
Começo pela coluna 3: as entradas acima do pivô na coluna 3 são 1 em R_1 e 1 em R_2.
Faço:
R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
Calculemos explicitamente:
Para R_2 - R_3: esquerda [0,1,1] - [0,0,1] = [0,1,0]. Direita [-1,1,0] - [0,-1,1] = [-1-0,\;1-(-1),\;0-1] = [-1,2,-1].
Então R_2 nova é [0,1,0 \mid -1,2,-1].
Para R_1 - R_3: esquerda [1,1,1] - [0,0,1] = [1,1,0]. Direita [1,0,0] - [0,-1,1] = [1-0,\;0-(-1),\;0-1] = [1,1,-1].
Então R_1 nova é [1,1,0 \mid 1,1,-1].
Agora a parte esquerda é exatamente I_3. Pela lógica do método, a parte direita é A^{-1}.]
Passo 7
Verificação rápida (uma checagem para evitar erro de cálculo): multiplico mentalmente a primeira linha de A por a primeira coluna da parte direita e confirmo que dá 1, e semelhantes para garantir que o produto A\cdot(\text{parte direita}) seja I. (Só uma checagem parcial: por exemplo, primeira linha de A é [1,1,1] e primeira coluna da parte direita é [2,-1,0]^T; produto é 1\cdot2+1\cdot(-1)+1\cdot0=1.)
Tudo confere com os cálculos anteriores, então a inversa obtida está correta.