Seja A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} tal que a_{i j}=\min \{i, j\}. Encontre a inversa de A pelos seguintes métodos:
operações elementares.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A=(a_{ij})_{3\times3} definida por a_{ij}=\min\{i,j\}, usando operações elementares. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Pedido: encontrar A^{-1} por operações elementares (Gauss–Jordan).
  • Informação dada: a_{ij}=\min\{i,j\} para i,j\in\{1,2,3\}.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a matriz A calculando \min\{i,j\} para cada entrada:
A=\begin{pmatrix} \min\{1,1\} & \min\{1,2\} & \min\{1,3\} \\\ \min\{2,1\} & \min\{2,2\} & \min\{2,3\} \\\ \min\{3,1\} & \min\{3,2\} & \min\{3,3\} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Vou inverter A aplicando operações elementares na matriz aumentada [A\mid I].
Breve aula-prática sobre operações elementares:
  • As operações permitidas em linhas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
  • Essas operações correspondem a multiplicar [A\mid I] pela esquerda por matrizes elementares invertíveis; portanto preservam a equivalência e permitem obter [I\mid A^{-1}] quando A for inversível.
  • Objetivo do método: transformar a parte esquerda A em I usando operações na linha; a parte direita se transforma em A^{-1}.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial [A\mid I_3]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Primeiro objetivo: eliminar as entradas abaixo do pivô na coluna 1 (usar o primeiro elemento 1 da primeira linha como pivô).
Aplico as operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1
Calculemos explicitamente cada nova linha:
  • Linha 2 nova: [1-1,\;2-1,\;2-1 \mid 0-1,\;1-0,\;0-0] = [0,1,1 \mid -1,1,0].
  • Linha 3 nova: [1-1,\;2-1,\;3-1 \mid 0-1,\;0-0,\;1-0] = [0,1,2 \mid -1,0,1].
Aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora uso o pivô na linha 2, coluna 2 (que é 1) para eliminar a entrada abaixo dele na coluna 2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Calculemos a nova linha 3:
  • Linha 3 nova: [0-0,\;1-1,\;2-1 \mid -1-(-1),\;0-1,\;1-0] = [0,0,1 \mid 0,-1,1].
Aumentada passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora a parte esquerda é triangular superior com pivôs 1 nas colunas 1,2,3 (já temos pivôs 1 na coluna 1 e 2, e agora na 3 também). Próxima etapa em Gauss–Jordan: eliminar as entradas acima de cada pivô (fazer zeros acima do pivô da terceira coluna, depois da segunda), transformando a parte esquerda em I_3.
Começo pela coluna 3: as entradas acima do pivô na coluna 3 são 1 em R_1 e 1 em R_2.
Faço:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
Calculemos explicitamente:
  • Para R_2 - R_3: esquerda [0,1,1] - [0,0,1] = [0,1,0]. Direita [-1,1,0] - [0,-1,1] = [-1-0,\;1-(-1),\;0-1] = [-1,2,-1].
    Então R_2 nova é [0,1,0 \mid -1,2,-1].
  • Para R_1 - R_3: esquerda [1,1,1] - [0,0,1] = [1,1,0]. Direita [1,0,0] - [0,-1,1] = [1-0,\;0-(-1),\;0-1] = [1,1,-1].
    Então R_1 nova é [1,1,0 \mid 1,1,-1].
Aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora elimino a entrada acima do pivô na coluna 2 (a entrada 1 em R_1, coluna 2). Faço:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
Calculemos:
  • Esquerda: [1,1,0] - [0,1,0] = [1,0,0].
  • Direita: [1,1,-1] - [-1,2,-1] = [1-(-1),\;1-2,\;-1-(-1)] = [2,-1,0].
Aumentada final passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].
Agora a parte esquerda é exatamente I_3. Pela lógica do método, a parte direita é A^{-1}.]

Passo 7

Verificação rápida (uma checagem para evitar erro de cálculo): multiplico mentalmente a primeira linha de A por a primeira coluna da parte direita e confirmo que dá 1, e semelhantes para garantir que o produto A\cdot(\text{parte direita}) seja I. (Só uma checagem parcial: por exemplo, primeira linha de A é [1,1,1] e primeira coluna da parte direita é [2,-1,0]^T; produto é 1\cdot2+1\cdot(-1)+1\cdot0=1.)
Tudo confere com os cálculos anteriores, então a inversa obtida está correta.

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados