Questão 38. Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
, Prove que:
Se
é invertível, então
também é invertível e
.
Se
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma matriz quadrada
de ordem . - A informação de que
é invertível (isto é, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade de ordem ).
O que é pedido:
- Mostrar que
(a transposta de ) também é invertível. - Mostrar que
.
Passo 2
Definição útil (lembrando devagar): uma matriz quadrada
é invertível se existe uma matriz
tal que
Essa
é chamada de inversa de
e é única quando existe. No nosso caso sabemos que existe
com
Passo 3
Definição da transposta e propriedades básicas (devagar e com exemplo mental):
- A transposta de uma matriz
é a matriz obtida trocando linhas por colunas; em termos de entradas:
- Consequências rápidas:
-
. - A transposta da identidade é ela mesma:
.
-
Passo 4
Propriedade central que vamos usar: a transposta do produto de duas matrizes inverte a ordem dos fatores, isto é, para matrizes
e
compatíveis vale
Prova elementar dessa propriedade (linha a linha):
Tomando a transposta, temos
Mas a soma
é exatamente a entrada
, porque
e
. Portanto
. (Isso é apenas escrever as somas com os índices trocados.)
Passo 5
Agora proponho um candidato para a inversa de
: tomar a transposta da inversa de
, isto é, a matriz
. Vou verificar que ela funciona como inversa, checando o produto à esquerda:
Aplicando a propriedade do Passo 4 com e
, obtemos
Aplicando a propriedade do Passo 4 com
Mas
, logo o lado esquerdo é
. Assim
Passo 6
Verifico também o produto à direita (para garantir inversa à esquerda e à direita):
Aplicando a propriedade do Passo 4 com e
, obtemos
Aplicando a propriedade do Passo 4 com
Como
, segue que
Passo 7
Concluo a partir dos passos anteriores: a matriz
satisfaz
ou seja,
é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de
. Portanto
é invertível e sua inversa é
. Pela unicidade da inversa, não pode haver outra matriz inversa diferente dessa.