Questão 38. Sejam A_{n} e B_{n} matrizes quadradas de ordem n, Prove que:
Se A é invertível, então A^{t} também é invertível e \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma matriz quadrada A de ordem n.
  • A informação de que A é invertível (isto é, existe uma matriz A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I_n, onde I_n é a matriz identidade de ordem n).
O que é pedido:
  • Mostrar que A^{t} (a transposta de A) também é invertível.
  • Mostrar que \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}.

Passo 2

Definição útil (lembrando devagar): uma matriz quadrada M é invertível se existe uma matriz N tal que
M N = N M = I_n.
Essa N é chamada de inversa de M e é única quando existe. No nosso caso sabemos que existe A^{-1} com
A A^{-1} = A^{-1} A = I_n.

Passo 3

Definição da transposta e propriedades básicas (devagar e com exemplo mental):
  • A transposta de uma matriz X é a matriz X^{t} obtida trocando linhas por colunas; em termos de entradas:
(X^{t})_{ij} = X_{ji}.
  • Consequências rápidas:
    • (X^{t})^{t} = X.
    • A transposta da identidade é ela mesma: I_n^{t}=I_n.

Passo 4

Propriedade central que vamos usar: a transposta do produto de duas matrizes inverte a ordem dos fatores, isto é, para matrizes X e Y compatíveis vale
(XY)^{t} = Y^{t} X^{t}.
Prova elementar dessa propriedade (linha a linha):
\text{Para todo } i,j:\quad (XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Tomando a transposta, temos
((XY)^{t})_{ij}=(XY)_{ji}=\sum_{k=1}^{n} X_{jk}\,Y_{ki}.
Mas a soma \sum_{k} X_{jk}\,Y_{ki} é exatamente a entrada (Y^{t}X^{t})_{ij}, porque (Y^{t})_{ik}=Y_{ki} e (X^{t})_{kj}=X_{jk}. Portanto (XY)^{t}=Y^{t}X^{t}. (Isso é apenas escrever as somas com os índices trocados.)

Passo 5

Agora proponho um candidato para a inversa de A^{t}: tomar a transposta da inversa de A, isto é, a matriz (A^{-1})^{t}. Vou verificar que ela funciona como inversa, checando o produto à esquerda:
Aplicando a propriedade do Passo 4 com X=A^{-1} e Y=A, obtemos
(A^{-1}A)^{t} = A^{t}(A^{-1})^{t}.
Mas A^{-1}A=I_n, logo o lado esquerdo é I_n^{t}=I_n. Assim
A^{t}(A^{-1})^{t} = I_n.

Passo 6

Verifico também o produto à direita (para garantir inversa à esquerda e à direita):
Aplicando a propriedade do Passo 4 com X=A e Y=A^{-1}, obtemos
( A A^{-1} )^{t} = (A^{-1})^{t} A^{t}.
Como A A^{-1}=I_n, segue que
(A^{-1})^{t} A^{t} = I_n.

Passo 7

Concluo a partir dos passos anteriores: a matriz (A^{-1})^{t} satisfaz
A^{t}(A^{-1})^{t}=I_n\qquad\text{e}\qquad (A^{-1})^{t}A^{t}=I_n,
ou seja, (A^{-1})^{t} é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de A^{t}. Portanto A^{t} é invertível e sua inversa é (A^{-1})^{t}. Pela unicidade da inversa, não pode haver outra matriz inversa diferente dessa.

Resposta

A^{t} é invertível e \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}

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