Questão 38. Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
, Prove que:
Se
é invertível, então
também é invertível e
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a informação seguinte:
- Existe uma matriz quadrada
de ordem que é invertível.
O enunciado pede que eu prove:
- Que
também é invertível. - Que
.
Passo 2
Relembrando o que significa “invertível” e algumas propriedades básicas que vou usar (de forma bem direta e amigável):
- Uma matriz quadrada
é chamada de invertível se existe uma matriz da mesma ordem tal que
onde
é a matriz identidade de ordem
. Nesse caso
chama-se o inverso de
e escrevemos
.
- A multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis
vale
- A matriz identidade
é elemento neutro à esquerda e à direita: para qualquer matriz da ordem apropriada,
Vou usar só essas coisas: definição de inverso, associatividade e propriedade da identidade.
Passo 3
Começo do argumento direto a partir da hipótese "
é invertível".
- Como
é invertível, por definição existe uma matriz (que chamamos de) tal que
e
Essas duas igualdades são exatamente as que certificam que
é um inverso de
.
Passo 4
Agora mostro que
é um inverso de
(isso já praticamente resolve o problema, mas faço passo a passo):
- Observe que as igualdades do Passo 3 podem ser lidas ao contrário: a primeira diz que multiplicando
à esquerda de dá ; a segunda diz que multiplicando à direita de também dá . Escrevendo-as de forma a enfatizar como candidato a inverso de :
e
- Pela definição de inverso, o fato de existirem ambas as igualdades acima significa exatamente que
é o inverso de . Em outras palavras, satisfaz as duas condições necessárias para ser o inverso de .
Passo 5
Concluo, formalizando a consequência lógica:
- Pelo Passo 4,
é inverso de . Portanto tem um inverso (que é ), isto é, é invertível. - E escrevendo isso na notação habitual de inversos:
Passo 6
Comentário extra curto sobre unicidade (útil para provas e para a cabeça não inventar outros candidatos):
- Se uma matriz tem inverso, esse inverso é único. Prova rápida da unicidade: suponha que
e sejam ambos inversos de . Então
A igualdade intermediária usa associatividade. Assim
. Isso garante que quando escrevemos
estamos indicando um único elemento, e portanto afirmar que
é bem definido.