Questão 38. Sejam A_{n} e B_{n} matrizes quadradas de ordem n, Prove que:
Se A é invertível, então A^{-1} também é invertível e \left(A^{-1}\right)^{-1}=A.

Passo 1

O enunciado dá a informação seguinte:
  • Existe uma matriz quadrada A de ordem n que é invertível.
O enunciado pede que eu prove:
  • Que A^{-1} também é invertível.
  • Que \left(A^{-1}\right)^{-1}=A.

Passo 2

Relembrando o que significa “invertível” e algumas propriedades básicas que vou usar (de forma bem direta e amigável):
  • Uma matriz quadrada M é chamada de invertível se existe uma matriz N da mesma ordem tal que
M N = N M = I,
onde I é a matriz identidade de ordem n. Nesse caso N chama-se o inverso de M e escrevemos N=M^{-1}.
  • A multiplicação de matrizes é associativa: para quaisquer matrizes compatíveis X,Y,Z vale
(XY)Z = X(YZ).
  • A matriz identidade I é elemento neutro à esquerda e à direita: para qualquer matriz X da ordem apropriada,
IX = XI = X.
Vou usar só essas coisas: definição de inverso, associatividade e propriedade da identidade.

Passo 3

Começo do argumento direto a partir da hipótese " A é invertível".
  • Como A é invertível, por definição existe uma matriz (que chamamos de) A^{-1} tal que
A A^{-1} = I
e
A^{-1} A = I.
Essas duas igualdades são exatamente as que certificam que A^{-1} é um inverso de A.

Passo 4

Agora mostro que A é um inverso de A^{-1} (isso já praticamente resolve o problema, mas faço passo a passo):
  • Observe que as igualdades do Passo 3 podem ser lidas ao contrário: a primeira diz que multiplicando A à esquerda de A^{-1} I; a segunda diz que multiplicando A à direita de A^{-1} também dá I. Escrevendo-as de forma a enfatizar A como candidato a inverso de A^{-1}:
A \cdot A^{-1} = I
e
A^{-1} \cdot A = I.
  • Pela definição de inverso, o fato de existirem ambas as igualdades acima significa exatamente que A é o inverso de A^{-1}. Em outras palavras, A satisfaz as duas condições necessárias para ser o inverso de A^{-1}.

Passo 5

Concluo, formalizando a consequência lógica:
  • Pelo Passo 4, A é inverso de A^{-1}. Portanto A^{-1} tem um inverso (que é A), isto é, A^{-1} é invertível.
  • E escrevendo isso na notação habitual de inversos:
\left(A^{-1}\right)^{-1}=A.

Passo 6

Comentário extra curto sobre unicidade (útil para provas e para a cabeça não inventar outros candidatos):
  • Se uma matriz tem inverso, esse inverso é único. Prova rápida da unicidade: suponha que B e C sejam ambos inversos de A. Então
B = B I = B(AC) = (BA)C = I C = C.
A igualdade intermediária usa associatividade. Assim B=C. Isso garante que quando escrevemos A^{-1} estamos indicando um único elemento, e portanto afirmar que \left(A^{-1}\right)^{-1}=A é bem definido.

Resposta

A^{-1} é invertível.
\left(A^{-1}\right)^{-1}=A

Exercícios relacionados