Seja A=\left\{a ; a \in \mathbb{Q}\right. e \left.a^{3}<2\right\}.
Mostre que se a \in A e b<a, então b \in A.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \{\,a\in\mathbb{Q}\mid a^3<2\}
e pede para mostrar que, se a\in A e b<a, então b\in A. Vamos usar que a função cúbica
f(x)=x^3
é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 2

Mostramos que f(x)=x^3 é estritamente crescente em \mathbb{R}. Para quaisquer b<a temos
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).
Como a-b>0 e a^2+ab+b^2>0, segue
a^3 - b^3 > 0 \quad\Longrightarrow\quad b^3 < a^3.

Passo 3

Suponha a\in A. Então a^3<2. Se b é racional e b<a, pela monotonicidade vem
b^3 < a^3 < 2.
Logo b\in\mathbb{Q} e b^3<2, ou seja, b\in A.

Resposta

Portanto, se a\in A e b<a, então b\in A.

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