Dada a matriz A^{-1} identifique a matriz A e calcule o \operatorname{det}(A)
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -3 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz inversa
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
e pede para determinar a matriz A e o valor de \det(A).
Conteúdo: inversão de matriz 3\times3 (método da adjunta) e propriedade \det(A)=1/\det(A^{-1}).

Passo 2

Calcular \det(A^{-1}) por regra de Sarrus ou desenvolvimento por cofatores.
Desenvolvendo pela primeira linha:
\det(A^{-1}) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&2\\\ -2&1\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&1\end{pmatrix} +(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&-2\end{pmatrix}.
Compute os menores:
\det\begin{pmatrix}-1&2\\\ -2&1\end{pmatrix}=-1\cdot1-2\cdot(-2)=3,
\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot1=-2,
\det\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&-2\end{pmatrix}=0\cdot(-2)-(-1)\cdot1=1.
Substituindo:
\det(A^{-1})=1\cdot3 -3\cdot(-2) +(-3)\cdot1 =3+6-3 =6.

Passo 3

Construir a matriz de cofatores de A^{-1}. Para cada posição (i,j) calculamos
\;C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor de ordem 2 excluindo linha i e coluna j.
Os resultados são:
C = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 3 & 4 & 5\\\\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A^{-1} é o transposto de C:
\operatorname{adj}(A^{-1}) = C^T = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ 2 & 4 & -2\\\\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix}.
Logo
A = \bigl(A^{-1}\bigr)^{-1} = \frac{1}{\det(A^{-1})}\,\operatorname{adj}(A^{-1}) = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ 2 & 4 & -2\\\\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix}.
Em forma de frações:
A = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac13 & \tfrac23 & -\tfrac13\\\ \tfrac16 & \tfrac56 & -\tfrac16 \end{pmatrix}.

Passo 5

Usando a propriedade do determinante de inversa:
\det(A)=\frac{1}{\det(A^{-1})}=\frac{1}{6}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac13 & \tfrac23 & -\tfrac13\\\ \tfrac16 & \tfrac56 & -\tfrac16 \end{pmatrix}, \qquad \det(A)=\tfrac16.

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