Coloque F (falso) ou V (Verdadeiro) justificando sua resposta.
a) ( ) Se \{u, v, w\} é LI então \{u+v, u-v, u-2 v+w\} é LI
b) () Se W_{1}, W_{2} \subset V são subespaços então W_{1}+W_{2} é subespaço
c) ( ) Se A \cdot B=A^{2} \cdot B^{-1} então A^{2} \cdot B^{6}=A^{5}
d) () Se W_{1}, W_{2} \subset V são subespaços então W_{1} \cup W_{2} é subespaço

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das quatro afirmativas é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando. Os temas envolvidos são independência linear de vetores, propriedades de subespaços vetoriais e manipulações em álgebra matricial.

Passo 2

a) Vamos verificar se \{u+v,\;u-v,\;u-2v+w\}\) é LI quando \(\{u,v,w\}\) já é LI. Considere a combinação linear \[\alpha(u+v)+\beta(u-v)+\gamma(u-2v+w)=0.
Reescrevendo em termos de u,v,w, temos
(\alpha+\beta+\gamma)\,u \;+\;(\alpha-\beta-2\gamma)\,v\;+\;\gamma\,w \;=\;0.
Como u,v,w são LI, os coeficientes devem ser todos zero, ou seja, resolvemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=0,\\\ \alpha-\beta-2\gamma=0,\\\ \gamma=0. \end{cases}
Da última equação vem \gamma=0\]. Substituindo nas duas primeiras obtém-se \(\alpha-\beta=0 e \alpha+\beta=0, o que leva a \alpha=\beta=0. Logo, a única combinação trivial anula o vetor nulo, e o conjunto é LI. Portanto, a) é V.

Passo 3

b) Seja
W_1+W_2=\{\,x+y \mid x\in W_1,\;y\in W_2\}.
Para mostrar que W_1+W_2 é subespaço, precisamos checar:
  1. 0+0=0\in W_1+W_2.
  2. Fechamento em soma: se x_1+y_1 e x_2+y_2 estão em W_1+W_2, então
(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\in W_1+W_2
porque x_1+x_2\in W_1 e y_1+y_2\in W_2.
3) Fechamento em escalar: para \lambda\in\mathbb{K},
\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y\in W_1+W_2.
Logo W_1+W_2 satisfaz todas as propriedades de subespaço. Portanto, b) é V.

Passo 4

c) Partindo de
A\,B = A^{2}\,B^{-1},
multiplicamos à direita por B:
A\,B^{2} = A^{2}.
Como B é invertível, A^{2} também é invertível e \,A é invertível. Multiplicando à esquerda por A^{-1}, obtemos
B^{2}=A.
Eleve ambos os lados à quinta potência:
(B^{2})^{5}=A^{5}\quad\Longrightarrow\quad B^{10}=A^{5}.
Por outro lado,
A^{2}B^{6}=(B^{2})^{2}B^{6}=B^{4}B^{6}=B^{10}.
Assim
A^{2}B^{6}=B^{10}=A^{5}.
Logo, c) é V.

Passo 5

d) A união W_{1}\cup W_{2} falha em geral na propriedade de fechamento na soma. Por exemplo, em \mathbb{R}^2 tome
W_1=\{(x,0)\},\quad W_2=\{(0,y)\}.
Então (1,0)\in W_1 e (0,1)\in W_2, mas (1,0)+(0,1)=(1,1)\notin W_1\cup W_2. Logo a união não é subespaço, salvo casos degenerados. Portanto, d) é F.

Resposta

a) V
b) V
c) V
d) F

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