Coloque F (falso) ou V (Verdadeiro) justificando sua resposta.
a) ( ) Se \{u, v, w\} é LI então \{u+v, u-v, u-2 v+w\} é LI
b) () Se W_{1}, W_{2} \subset V são subespaços então W_{1}+W_{2} é subespaço
c) ( ) Se A \cdot B=A^{2} \cdot B^{-1} então A^{2} \cdot B^{6}=A^{5}
d) () Se W_{1}, W_{2} \subset V são subespaços então W_{1} \cup W_{2} é subespaço
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das quatro afirmativas é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando. Os temas envolvidos são independência linear de vetores, propriedades de subespaços vetoriais e manipulações em álgebra matricial.
Passo 2
a) Vamos verificar se \{u+v,\;u-v,\;u-2v+w\}\) é LI quando \(\{u,v,w\}\) já é LI. Considere a combinação linear
\[\alpha(u+v)+\beta(u-v)+\gamma(u-2v+w)=0.
Da última equação vem \gamma=0\]. Substituindo nas duas primeiras obtém-se \(\alpha-\beta=0 e \alpha+\beta=0, o que leva a \alpha=\beta=0. Logo, a única combinação trivial anula o vetor nulo, e o conjunto é LI. Portanto, a) é V.
Passo 3
b) Seja
W_1+W_2=\{\,x+y \mid x\in W_1,\;y\in W_2\}.
Para mostrar que W_1+W_2 é subespaço, precisamos checar:
0+0=0\in W_1+W_2.
Fechamento em soma: se x_1+y_1 e x_2+y_2 estão em W_1+W_2, então