Seja
a temperatura em cada ponto de uma placa de metal
. Determine os pontos de máximo e de mínimo absolutos de
e as temperaturas máximas e mínimas correspondentes.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura
em cada ponto da placa
(disco centrado em
de raio
).
Pede-se: determinar os pontos de máximo e de mínimo absolutos de em
e as temperaturas correspondentes.
Informações relevantes listadas:
Pede-se: determinar os pontos de máximo e de mínimo absolutos de
Informações relevantes listadas:
-
é fechado e limitado (compacto), então como é contínua, existem máximo e mínimo absolutos em . - Precisamos buscar candidatos a extremos em dois lugares: pontos críticos no interior de
(onde o gradiente é zero) e pontos na fronteira .
A resolução começa encontrando os pontos críticos no interior e depois analisando a fronteira.
Passo 2
Encontrar pontos críticos no interior: calcule o gradiente
e resolva
.
As derivadas parciais são
As derivadas parciais são
Impondo
e
, obtemos o sistema
Da primeira equação vêm duas possibilidades: (A)
ou (B)
. Vamos analisar cada uma.
Passo 3
Caso (A):
. Substituindo na segunda equação:
logo
, isto é
ou
. Esses pontos são
e
. Verifique se pertencem ao interior de
: para ambos
, ou seja, esses pontos estão na fronteira do disco, não no interior. Portanto não são pontos críticos interiores, serão tratados na análise da fronteira.
Passo 4
Caso (B):
. Substituindo na segunda equação:
O ponto é
. Verifique que ele está no interior de
:
. Portanto
é um ponto crítico interior e é o único tal ponto.
Passo 5
Classificação do ponto crítico interior usando a matriz Hessiana. As segundas derivadas são
No ponto
temos
A Hessiana é a matriz
que é definida positiva (autovalores positivos). Logo
é um ponto de mínimo local. Calculamos o valor:
Passo 6
Agora analisar a fronteira:
. Para simplificar, parametrizamos a fronteira pelo ângulo
:
Substituindo na expressão de
:
Simplifique usando
:
Logo
. Note que
na fronteira depende apenas de
, com
.
Passo 7
Reduza a busca ao intervalo de uma variável: defina
para
. Derivando:
Zeramos
para candidatos:
e
. Avalie
nos pontos críticos e nos extremos
e
:
Assim, os valores possíveis de
na fronteira são
,
e
; o maior é
(em
) e o menor entre esses é
. Identifique os pontos no plano:
-
corresponde a e . Logo ponto com . -
corresponde a e ou ; nesses pontos . -
dá e ; nesses pontos (valor menor que e maior que ).
Passo 8
Compare todos os candidatos: temos
- ponto crítico interior
com ; - pontos na fronteira com valores
(em ), (em e ), (em dois pontos com ) e possivelmente outros com mesmo valor.
Como, conclui-se que o menor valor absoluto é no ponto interior e o maior valor absoluto é no ponto da fronteira . Ambos são únicos para seus respectivos valores.
Resposta
Máximo absoluto: ponto
, temperatura
.
Mínimo absoluto: ponto , temperatura
.
Mínimo absoluto: ponto