Seja T(x, y)=(x-2)^{2} y+y^{2}-y a temperatura em cada ponto de uma placa de metal \Omega=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:(x-2)^{2}+y^{2} \leq 1\right\}. Determine os pontos de máximo e de mínimo absolutos de T e as temperaturas máximas e mínimas correspondentes.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y)=(x-2)^{2}y+y^{2}-y
em cada ponto da placa \Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:(x-2)^{2}+y^{2}\le 1\} (disco centrado em (2,0) de raio 1).
Pede-se: determinar os pontos de máximo e de mínimo absolutos de T em \Omega e as temperaturas correspondentes.
Informações relevantes listadas:
  • \Omega é fechado e limitado (compacto), então como T é contínua, existem máximo e mínimo absolutos em \Omega.
  • Precisamos buscar candidatos a extremos em dois lugares: pontos críticos no interior de \Omega (onde o gradiente é zero) e pontos na fronteira (x-2)^{2}+y^{2}=1.
    A resolução começa encontrando os pontos críticos no interior e depois analisando a fronteira.

Passo 2

Encontrar pontos críticos no interior: calcule o gradiente \nabla T e resolva \nabla T=0.
As derivadas parciais são
\frac{\partial T}{\partial x}=2(x-2)y,
\frac{\partial T}{\partial y}=(x-2)^{2}+2y-1.
Impondo \frac{\partial T}{\partial x}=0 e \frac{\partial T}{\partial y}=0, obtemos o sistema
2(x-2)y=0,
(x-2)^{2}+2y-1=0.
Da primeira equação vêm duas possibilidades: (A) y=0 ou (B) x=2. Vamos analisar cada uma.

Passo 3

Caso (A): y=0. Substituindo na segunda equação:
(x-2)^{2}+2\cdot 0-1=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)^{2}=1,
logo x-2=\pm 1, isto é x=3 ou x=1. Esses pontos são (3,0) e (1,0). Verifique se pertencem ao interior de \Omega: para ambos (x-2)^{2}+y^{2}=(\pm1)^{2}+0=1, ou seja, esses pontos estão na fronteira do disco, não no interior. Portanto não são pontos críticos interiores, serão tratados na análise da fronteira.

Passo 4

Caso (B): x=2. Substituindo na segunda equação:
0 + 2y - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{2}.
O ponto é \left(2,\tfrac{1}{2}\right). Verifique que ele está no interior de \Omega: (2-2)^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=0+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}<1. Portanto \left(2,\tfrac{1}{2}\right) é um ponto crítico interior e é o único tal ponto.

Passo 5

Classificação do ponto crítico interior usando a matriz Hessiana. As segundas derivadas são
\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=2y,\qquad \frac{\partial^{2}T}{\partial x\partial y}=2(x-2),\qquad \frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}=2.
No ponto \left(2,\tfrac{1}{2}\right) temos
\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=2\cdot \tfrac{1}{2}=1,\qquad \frac{\partial^{2}T}{\partial x\partial y}=0,\qquad \frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}=2.
A Hessiana é a matriz
H=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},
que é definida positiva (autovalores positivos). Logo \left(2,\tfrac{1}{2}\right) é um ponto de mínimo local. Calculamos o valor:
T\!\left(2,\tfrac{1}{2}\right)= (2-2)^{2}\cdot \tfrac{1}{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}.]

Passo 6

Agora analisar a fronteira: (x-2)^{2}+y^{2}=1. Para simplificar, parametrizamos a fronteira pelo ângulo t:
x-2=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Substituindo na expressão de T:
T(t)=\cos^{2}t\sin t+\sin^{2}t-\sin t.
Simplifique usando \cos^{2}t=1-\sin^{2}t:
T(t)=(1-\sin^{2}t)\sin t+\sin^{2}t-\sin t = \sin t -\sin^{3}t+\sin^{2}t-\sin t = -\sin^{3}t+\sin^{2}t.
Logo \displaystyle T(t)=\sin^{2}t\,(1-\sin t). Note que T na fronteira depende apenas de s=\sin t, com s\in[-1,1].

Passo 7

Reduza a busca ao intervalo de uma variável: defina f(s)=s^{2}(1-s) para s\in[-1,1]. Derivando:
f'(s)=2s(1-s)-s^{2}=2s-2s^{2}-s^{2}=s(2-3s).
Zeramos f'(s)=0 para candidatos: s=0 e s=\tfrac{2}{3}. Avalie f nos pontos críticos e nos extremos s=-1 e s=1:
f(-1)=(-1)^{2}(1-(-1))=1\cdot 2=2,
f(1)=1^{2}(1-1)=0,
f(0)=0^{2}(1-0)=0,
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}\left(1-\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{4}{9}\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{27}.
Assim, os valores possíveis de T na fronteira são \tfrac{4}{27}, 0 e 2; o maior é 2 (em s=-1) e o menor entre esses é 0. Identifique os pontos no plano:
  • s=-1 corresponde a \sin t=-1\Rightarrow y=-1 e \cos t=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2. Logo ponto (2,-1) com T=2.
  • s=0 corresponde a y=0 e \cos t=\pm1\Rightarrow x=1 ou x=3; nesses pontos T=0.
  • s=\tfrac{2}{3} y=\tfrac{2}{3} e x-2=\pm\sqrt{1-y^{2}}=\pm\sqrt{1-(4/9)}=\pm\sqrt{5/9}=\pm\tfrac{\sqrt{5}}{3}; nesses pontos T=\tfrac{4}{27} (valor menor que 2 e maior que 0).

Passo 8

Compare todos os candidatos: temos
  • ponto crítico interior \left(2,\tfrac{1}{2}\right) com T=-\tfrac{1}{4};
  • pontos na fronteira com valores 2 (em (2,-1)), 0 (em (1,0) e (3,0)), \tfrac{4}{27} (em dois pontos com y=\tfrac{2}{3}) e possivelmente outros com mesmo valor.
    Como -\tfrac{1}{4}<0<\tfrac{4}{27}<2, conclui-se que o menor valor absoluto é -\tfrac{1}{4} no ponto interior \left(2,\tfrac{1}{2}\right) e o maior valor absoluto é 2 no ponto da fronteira (2,-1). Ambos são únicos para seus respectivos valores.

Resposta

Máximo absoluto: ponto (2,-1), temperatura 2.
Mínimo absoluto: ponto \left(2,\tfrac{1}{2}\right), temperatura -\tfrac{1}{4}.

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