Seja
um grupo com a seguinte propriedade: Se
e
então
. Mostre que
é abeliano.
Passo 1
O enunciado dá um grupo
com a seguinte propriedade: para quaisquer
, se
então
O que se pede: mostrar que
é abeliano, ou seja, provar que para quaisquer
vale
Passo 2
Pegue elementos arbitrários
. Como
é um grupo, o inverso
existe em
e o produto de elementos de
permanece em
(fechamento). Assim podemos formar o elemento
e
pertence a
.
Passo 3
Calcule
usando a definição de
:
Usando a associatividade do produto em
e o fato de
ser a identidade, obtemos
Portanto temos a igualdade
com
.
Passo 4
Agora aplique a hipótese do enunciado: como
, a propriedade dada implica
. Logo
Passo 5
A partir de
multiplique ambos os lados à direita por
. Pela associatividade e por
segue
Portanto
.
Passo 6
Voltando ao início,
e
foram escolhidos arbitrariamente em
. Como a dedução não usou nada além de serem elementos quaisquer de
, concluímos que para quaisquer
vale
. Em outras palavras, todos os elementos comutam entre si.
Resposta
O grupo
é abeliano.