Seja G um grupo com a seguinte propriedade: Se a, b, c \in G e a b=c a então b=c. Mostre que G é abeliano.

Passo 1

O enunciado dá um grupo G com a seguinte propriedade: para quaisquer a,b,c\in G, se
a b = c a
então
b = c.
O que se pede: mostrar que G é abeliano, ou seja, provar que para quaisquer x,y\in G vale
x y = y x.

Passo 2

Pegue elementos arbitrários a,b\in G. Como G é um grupo, o inverso a^{-1} existe em G e o produto de elementos de G permanece em G (fechamento). Assim podemos formar o elemento
c := a b a^{-1},
e c pertence a G.

Passo 3

Calcule c a usando a definição de c:
c a = (a b a^{-1}) a.
Usando a associatividade do produto em G e o fato de a^{-1}a ser a identidade, obtemos
c a = a b (a^{-1} a) = a b e = a b.
Portanto temos a igualdade
a b = c a,
com a,b,c\in G.

Passo 4

Agora aplique a hipótese do enunciado: como a b = c a, a propriedade dada implica b = c. Logo
b = c = a b a^{-1}.

Passo 5

A partir de b = a b a^{-1} multiplique ambos os lados à direita por a. Pela associatividade e por a^{-1}a=e segue
b a = (a b a^{-1}) a = a b (a^{-1} a) = a b.
Portanto b a = a b.

Passo 6

Voltando ao início, a e b foram escolhidos arbitrariamente em G. Como a dedução não usou nada além de serem elementos quaisquer de G, concluímos que para quaisquer x,y\in G vale x y = y x. Em outras palavras, todos os elementos comutam entre si.

Resposta

O grupo G é abeliano.

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