Para uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} definida pela matriz A , determine para que valores de k a dimensão do núcleo é 2 .
A=\left(\begin{array}{llll} 2 & 1 & 0 & k \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: para quais valores de k a dimensão do núcleo (ou nulidade) da transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4}, definida pela matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & k \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
é igual a 2.
Informações dadas:
  • A matriz A é uma matriz quadrada 4\times4 com entradas reais, dependente do parâmetro k.
  • O objetivo é encontrar os valores de k tais que \dim\ker(A)=2.

Passo 2

Vamos lembrar conceitos importantes (com calma e sem pressa):
  • O núcleo (ou núcleo) de A é o conjunto \ker(A)=\{x\in\mathbb{R}^4: Ax=0\}. A dimensão do núcleo é chamada de nulidade, denotada \dim\ker(A).
  • O teorema dimensão de posto (rank–nullity) diz que, para uma matriz 4\times4,
\dim\ker(A)+\operatorname{rank}(A)=4.
Portanto, para ter \dim\ker(A)=2 precisamos de \operatorname{rank}(A)=2.
  • Uma matriz quadrada é invertível (ou não singular) se e somente se seu determinante for diferente de zero. Se A for invertível, então \operatorname{rank}(A)=4 e \dim\ker(A)=0.

Passo 3

Observação sobre matrizes triangulares: para uma matriz triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. A matriz A é triangular superior e sua diagonal é (2,2,2,2). Logo,
\det(A)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}=16.
Note que esse valor não depende de k.

Passo 4

Como \det(A)=16\neq 0, a matriz A é invertível para todo k\in\mathbb{R}. Portanto, para todo k vale
\operatorname{rank}(A)=4\quad\text{e}\quad \dim\ker(A)=0.
Logo não é possível ter \dim\ker(A)=2 para nenhum valor de k.

Passo 5

Para reforçar a intuição (chegar à mesma conclusão resolvendo o sistema homogêneo): escrevemos x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T\) e resolvemos \(Ax=0\). Como \(A\) é triangular superior, obtemos do sistema escalonado (linha por linha): \[\begin{cases} 2x_1 + x_2 + k x_4 = 0,\\[4pt] 2x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] 2x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] 2x_4 = 0. \end{cases}
Da última equação vem x_4=0\]. Substituindo em cima, \(2x_3=0\Rightarrow x_3=0; depois 2x_2=0\Rightarrow x_2=0; finalmente 2x_1=0\Rightarrow x_1=0. Assim a única solução é x=0, confirmando que \ker(A)=\{0\} e \dim\ker(A)=0 (independente de k).]

Resposta

Não existe nenhum k\in\mathbb{R}; para todo k tem-se \dim\ker(A)=0.

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