Calcule as seguintes
\iint_{R}^{R}(2 x-y) d x d y, R é a região limitada pelo círculo de sentro na origem e raio 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \displaystyle \iint_{R}(2x - y)\,dx\,dy,
onde R é o disco de centro na origem e raio 2.
O conteúdo envolvido é integral dupla e uso de simetria de funções ímpares em regiões simétricas.

Passo 2

Separar a integral em duas partes usando linearidade:
\iint_{R}(2x - y)\,dx\,dy = 2\iint_{R}x\,dx\,dy \;-\;\iint_{R}y\,dx\,dy.

Passo 3

Analisar \displaystyle \iint_{R}x\,dx\,dy.
Como R é simétrico em relação ao eixo y, para cada ponto (x,y)\in R (-x,y)\in R e x muda de sinal. Logo
\iint_{R}x\,dx\,dy = 0.

Passo 4

Analisar \displaystyle \iint_{R}y\,dx\,dy.
Como R é simétrico em relação ao eixo x, para cada ponto (x,y)\in R (x,-y)\in R e y muda de sinal. Logo
\iint_{R}y\,dx\,dy = 0.

Passo 5

Substituindo nos termos da separação:
2\iint_{R}x\,dx\,dy - \iint_{R}y\,dx\,dy = 2\cdot 0 - 0 = 0.

Resposta

0

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