Supondo a_{n} \rightarrow a>0. Prove que a_{n}>0 a partir de um certo n.

Passo 1

O enunciado afirma que (a_n) é uma sequência que converge para um limite a>0. O conteúdo aqui é a definição de convergência de sequência real e como usar essa definição (o critério \varepsilon N) para obter informações sobre os termos a_n em torno do limite.

Passo 2

Pela definição de convergência, para qualquer \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n - a| < \varepsilon.
Como queremos garantir que a_n>0, uma escolha natural é \varepsilon = \frac{a}{2}, pois a>0. Logo, existe N tal que, para todo n\ge N,
|a_n - a| < \frac{a}{2}.

Passo 3

Da desigualdade
|a_n - a| < \frac{a}{2}
segue-se, em particular,
a - a_n < \frac{a}{2} \quad\Longrightarrow\quad a_n > a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}.
Como \frac{a}{2}>0, concluímos que para todo n\ge N temos a_n>0.

Resposta

Escolhendo \varepsilon = \tfrac{a}{2}, existe N tal que, para todo n\ge N, vale a_n>\tfrac{a}{2}>0. Portanto, a_n>0 a partir de n=N.

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