Sejam \left(a_{n}\right) e ( b_{n} ) sequência convergentes, com a_{n} \leq b_{n}. Mostre que \lim a_{n} \leq \lim b_{n}.

Passo 1

O enunciado diz que \bigl(a_n\bigr) e \bigl(b_n\bigr) são sequências convergentes e que, para todo n,
a_n \le b_n.
Queremos mostrar que
\lim_{n\to\infty}a_n \;\le\;\lim_{n\to\infty}b_n.
O conteúdo central aqui é usar a definição de limite de sequência e explorar uma prova por contradição.

Passo 2

Sejam
L = \lim_{n\to\infty}a_n \quad\text{e}\quad M = \lim_{n\to\infty}b_n.
Suponha, para obter contradição, que
L > M.

Passo 3

Defina
\varepsilon = \frac{L - M}{2} > 0.
Pela convergência de \bigl(a_n\bigr), existe N_1 tal que, para todo n > N_1,
|a_n - L| < \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad a_n > L - \varepsilon.
Pela convergência de \bigl(b_n\bigr), existe N_2 tal que, para todo n > N_2,
|b_n - M| < \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad b_n < M + \varepsilon.

Passo 4

Escolha N = \max\{N_1,N_2\}. Para todo n > N temos simultaneamente
a_n > L - \varepsilon \quad\text{e}\quad b_n < M + \varepsilon.
Mas como \varepsilon = \tfrac{L-M}{2}, segue
L - \varepsilon = L - \frac{L-M}{2} = \frac{L+M}{2} \quad\text{e}\quad M + \varepsilon = M + \frac{L-M}{2} = \frac{L+M}{2}.
Logo para n>N obtemos
a_n > \frac{L+M}{2} \quad\text{e}\quad b_n < \frac{L+M}{2} \quad\Longrightarrow\quad a_n > b_n,
o que contradiz a hipótese a_n \le b_n.

Resposta

Portanto a suposição L>M é falsa, e concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_n \;\le\;\lim_{n\to\infty}b_n.

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