Sejam
e (
) sequência convergentes, com
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são sequências convergentes e que, para todo
,
Queremos mostrar que
O conteúdo central aqui é usar a definição de limite de sequência e explorar uma prova por contradição.
Passo 2
Sejam
Suponha, para obter contradição, que
Passo 3
Defina
Pela convergência de
, existe
tal que, para todo
,
Pela convergência de
, existe
tal que, para todo
,
Passo 4
Escolha
. Para todo
temos simultaneamente
Mas como
, segue
Logo para
obtemos
o que contradiz a hipótese
.
Resposta
Portanto a suposição
é falsa, e concluímos que