Seja \left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} uma base de \mathbb{V}^{3}. Em cada um dos itens abaixo, decida se \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é ou não uma base de \mathbb{V}^{3}. \vec{u}=\overrightarrow{e_{2}}, \vec{v}=\overrightarrow{e_{3}}, \vec{w}=\overrightarrow{e_{1}}
Passo 1
O enunciado dá uma base ordenada \{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\} de \mathbb{V}^{3} e define \vec{u}=\overrightarrow{e_{2}},\;\vec{v}=\overrightarrow{e_{3}},\;\vec{w}=\overrightarrow{e_{1}}.
Queremos decidir se \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} também é uma base de \mathbb{V}^{3}. Para isso, vamos usar o critério de que, em um espaço de dimensão 3, um conjunto de três vetores é base se e somente se for linearmente independente (ou, equivalentemente, gerar todo o espaço).
Passo 2
Para testar independência linear, consideremos a combinação
Como \{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\} é base, seus coeficientes devem ser todos zero, ou seja \gamma=0,\;\alpha=0,\;\beta=0.
Logo \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é linearmente independente. Como são três vetores em um espaço de dimensão 3, eles também geram \mathbb{V}^{3}. Portanto é uma base.
Resposta
Sim, \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}=\{\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}},\overrightarrow{e_{1}}\} é uma base de \mathbb{V}^{3}.