Seja \left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} uma base de \mathbb{V}^{3}. Em cada um dos itens abaixo, decida se \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é ou não uma base de \mathbb{V}^{3}.
\vec{u}=2 \overrightarrow{e_{1}}+3 \overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \vec{v}=-\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \vec{w}=\overrightarrow{e_{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá uma base \{\overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3}\} de \mathbb V^3 e os vetores \displaystyle \vec u=2\overrightarrow e_{1}+3\overrightarrow e_{2}+\overrightarrow e_{3}, \displaystyle \vec v=-\overrightarrow e_{1}-\overrightarrow e_{2}+\overrightarrow e_{3}, \displaystyle \vec w=\overrightarrow e_{2}.
Para decidir se \{\vec u,\vec v,\vec w\} é base de \mathbb V^3 basta verificar se eles são linearmente independentes, o que em \mathbb V^3 equivale a checar se o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas desses vetores é não nulo.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de \vec u,\vec v,\vec w em relação à base \{\overrightarrow e_i\}: \vec u\mapsto (2,3,1), \vec v\mapsto(-1,-1,1), \vec w\mapsto(0,1,0).
Logo a matriz que tem essas coordenadas como colunas é
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 3 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos \det A pela expansão na primeira linha:
\det A =2\begin{vmatrix}-1&1\\[6pt]1&0\end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix}3&1\\[4pt]1&0\end{vmatrix} +0\cdot\begin{vmatrix}3&-1\\[4pt]1&1\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}-1&1\\\ 1&0\end{vmatrix} =(-1)\cdot0-1\cdot1=-1, \quad \begin{vmatrix}3&1\\\ 1&0\end{vmatrix} =3\cdot0-1\cdot1=-1.
Substituindo,
\det A =2\cdot(-1)\;-\;(-1)\cdot(-1) = -2\;-\;1 = -3.]

Passo 4

Como \det A=-3\neq0, os vetores \vec u,\vec v,\vec w são linearmente independentes em \mathbb V^3. Em dimensão 3, isso basta para que eles gerem todo o espaço, ou seja, formam uma base.

Resposta

Sim, \{\vec u,\vec v,\vec w\} é uma base de \mathbb V^3.

Exercícios relacionados