Seja \left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} uma base de \mathbb{V}^{3}. Em cada um dos itens abaixo, decida se \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é ou não uma base de \mathbb{V}^{3}. \vec{u}=2 \overrightarrow{e_{1}}+3 \overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \vec{v}=-\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \vec{w}=\overrightarrow{e_{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá uma base \{\overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3}\} de \mathbb V^3 e os vetores \displaystyle \vec u=2\overrightarrow e_{1}+3\overrightarrow e_{2}+\overrightarrow e_{3}, \displaystyle \vec v=-\overrightarrow e_{1}-\overrightarrow e_{2}+\overrightarrow e_{3}, \displaystyle \vec w=\overrightarrow e_{2}.
Para decidir se \{\vec u,\vec v,\vec w\} é base de \mathbb V^3 basta verificar se eles são linearmente independentes, o que em \mathbb V^3 equivale a checar se o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas desses vetores é não nulo.
Passo 2
Escrevemos as coordenadas de \vec u,\vec v,\vec w em relação à base \{\overrightarrow e_i\}: \vec u\mapsto (2,3,1), \vec v\mapsto(-1,-1,1), \vec w\mapsto(0,1,0).
Logo a matriz que tem essas coordenadas como colunas é
\det A =2\cdot(-1)\;-\;(-1)\cdot(-1) = -2\;-\;1 = -3.]
Passo 4
Como \det A=-3\neq0, os vetores \vec u,\vec v,\vec w são linearmente independentes em \mathbb V^3. Em dimensão 3, isso basta para que eles gerem todo o espaço, ou seja, formam uma base.
Resposta
Sim, \{\vec u,\vec v,\vec w\} é uma base de \mathbb V^3.