Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores cujas coordenadas estão dadas em relação a uma base de \mathbb{V}^{3} :
\{(1,2,1),(0,2,1),(-3,2,1)\}

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto de vetores \,(1,2,1),\;(0,2,1),\;(-3,2,1)\ em um espaço vetorial de dimensão 3 e pede para determinar se eles são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo principal é dependência linear e vamos usar o critério do determinante de uma matriz 3\times3 (ou, alternativamente, resolver um sistema de combinação linear).

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são os vetores e calculamos o determinante:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\\\ 2 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo por Laplace na primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} - 0\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} + (-3)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot0 + 0 + (-3)\cdot0 = 0.

Passo 3

Como \det(A)=0\), os vetores são linearmente dependentes. Para obter uma relação explícita, fazemos \[a\,(1,2,1) + b\,(0,2,1) + c\,(-3,2,1) = (0,0,0),
o que gera o sistema
\begin{cases} a - 3c = 0,\\\\ 2a + 2b + 2c = 0,\\\ a + b + c = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=3c\]. Substituindo na segunda: \[6c + 2b + 2c = 0 \implies b = -4c.\] A terceira equação é redundante. Tomando \(c=1, obtemos a=3 e b=-4.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente. Uma relação de dependência é
3\,(1,2,1) \;-\;4\,(0,2,1)\;+\;1\,(-3,2,1) \;=\;(0,0,0).

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