Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores cujas coordenadas estão dadas em relação a uma base de \mathbb{V}^{3} : \{(1,2,1),(0,2,1),(-3,2,1)\}
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto de vetores \,(1,2,1),\;(0,2,1),\;(-3,2,1)\ em um espaço vetorial de dimensão 3 e pede para determinar se eles são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo principal é dependência linear e vamos usar o critério do determinante de uma matriz 3\times3 (ou, alternativamente, resolver um sistema de combinação linear).
Passo 2
Montamos a matriz cujas colunas são os vetores e calculamos o determinante:
Como \det(A)=0\), os vetores são linearmente dependentes. Para obter uma relação explícita, fazemos
\[a\,(1,2,1) + b\,(0,2,1) + c\,(-3,2,1) = (0,0,0),
o que gera o sistema
\begin{cases} a - 3c = 0,\\\\ 2a + 2b + 2c = 0,\\\ a + b + c = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=3c\]. Substituindo na segunda:
\[6c + 2b + 2c = 0 \implies b = -4c.\]
A terceira equação é redundante. Tomando \(c=1, obtemos a=3 e b=-4.
Resposta
O conjunto é linearmente dependente. Uma relação de dependência é