Seja \left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} uma base de \mathbb{V}^{3}. Em cada um dos itens abaixo, decida se \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é ou não uma base de \mathbb{V}^{3}.
(b)
\vec{u}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}, \vec{v}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{3}}, \vec{w}=\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto \{\vec u,\vec v,\vec w\} é uma base de \mathbb V^3, sabendo que \{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\} já é uma base. Em espaços de dimensão tridimensional, um conjunto de três vetores é base se, e somente se, for linearmente independente. Para verificar independência, vamos escrever as coordenadas de \vec u,\vec v,\vec w na base \{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\} e calcular o determinante da matriz formada por essas coordenadas.

Passo 2

As definições dão \vec u=\vec e_1+\vec e_2, \vec v=\vec e_1+\vec e_3, \vec w=\vec e_2+\vec e_3.
Logo, suas coordenadas em relação a \{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\} são, respectivamente, (1,1,0), (1,0,1) e (0,1,1). Formamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M. Usando a expansão pela primeira linha,
\det M =1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) =1\,(0\cdot1-1\cdot1)-1\,(1\cdot1-1\cdot0) =-1-1=-2.
Como \det M = -2 \neq 0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Em \mathbb V^3, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes forma uma base. Como \det M\neq0, concluímos que \{\vec u,\vec v,\vec w\} é base de \mathbb V^3.

Resposta

Sim. O conjunto \{\vec u,\vec v,\vec w\} é uma base de \mathbb V^3 porque sua matriz de coordenadas tem determinante diferente de zero.

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