Seja \left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} uma base de \mathbb{V}^{3}. Em cada um dos itens abaixo, decida se \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é ou não uma base de \mathbb{V}^{3}.
(c)
\vec{u}=\overrightarrow{e_{2}}, \vec{v}=\overrightarrow{e_{3}}, \vec{w}=\overrightarrow{e_{1}}

Passo 1

O enunciado nos dá uma base \{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\} de \mathbb{V}^3 e define \vec{u}=\overrightarrow{e_{2}},\;\vec{v}=\overrightarrow{e_{3}},\;\vec{w}=\overrightarrow{e_{1}}.
Para decidir se \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base, precisamos verificar que é (i) linearmente independente e (ii) gera \mathbb{V}^3. Vamos usar também o fato de que, em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes já forma uma base.

Passo 2

Mostramos a independência linear. Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a\,\vec{u}+b\,\vec{v}+c\,\vec{w}=0.
Substituindo \vec{u}=\overrightarrow{e_{2}}, \vec{v}=\overrightarrow{e_{3}} e \vec{w}=\overrightarrow{e_{1}}, vem
a\,\overrightarrow{e_{2}}+b\,\overrightarrow{e_{3}}+c\,\overrightarrow{e_{1}}=0.
Como \{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\} é base, é linearmente independente, logo os coeficientes de \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}} devem ser todos zero. Assim
a=0,\quad b=0,\quad c=0,
e concluímos que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é linearmente independente.

Passo 3

Como encontramos 3 vetores linearmente independentes em \mathbb{V}^3 (que tem dimensão 3), segue do teorema da dimensão que eles formam uma base e, portanto, geram todo o espaço. Alternativamente, qualquer vetor \vec{x}=x_{1}\overrightarrow{e_{1}}+x_{2}\overrightarrow{e_{2}}+x_{3}\overrightarrow{e_{3}} pode ser reescrito como
\vec{x}=x_{2}\,\vec{u}+x_{3}\,\vec{v}+x_{1}\,\vec{w},
mostrando diretamente que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} gera \mathbb{V}^3.

Resposta

Sim. \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base de \mathbb{V}^3.

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