Seja
como espaço vetorial.
(i) Mostre que são subespaços de
os subconjuntos:
(ii) Prove que
.
(iii) Considere os seguintes subespaços de
:
Ache a dimensão de
, de
, de
e de
.
(i) Mostre que são subespaços de
(iii) Considere os seguintes subespaços de
Passo 1
O enunciado trabalha em
e pede três coisas: (i) mostrar que
são subespaços; (ii) provar que
; (iii) para
calcular
,
,
e
. Vamos usar teoria de subespaços, soma direta e dimensões.
Passo 2
Para (i) basta verificar para cada conjunto que contém a matriz zero, é fechado sob soma e produto por escalar.
- Em
, a matriz zero é simétrica; se e satisfazem e , então
e para
Logo
é subespaço.
2. Em , a matriz zero satisfaz
; se
e
,
2. Em
e
Logo
é subespaço.
Passo 3
Para (ii) mostramos primeiro que todo
se decompõe em simétrica mais antissimétrica:
onde
e
. Assim
.
Para checar soma direta, vemos a interseção: se então
e
, logo
e
implica
. Portanto
e concluímos
.
Para checar soma direta, vemos a interseção: se
Passo 4
Para (iii), caracterizamos bases naturais:
- Em
(triangulares superiores) só podem ser não nulos . Uma base é
logo
.
- Em
(triangulares inferiores) só podem ser não nulos . Uma base é
logo
.
- A interseção
são as matrizes que são simultaneamente triangulares superior e inferior, ou seja, diagonais. Uma base é
logo
.
- A soma
consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como soma de uma triangular superior e uma inferior. Mas em toda matriz se escreve assim, então , de dimensão 4. Alternativamente, pela fórmula de Grassmann: