Seja V=M_{2}(\mathbb{R}) como espaço vetorial.
(i) Mostre que são subespaços de V os subconjuntos:
S_{1}=\left\{A \in V \mid A=A^{t}\right\}, \quad S_{2}=\left\{A \in V \mid A=-A^{t}\right\} .
(ii) Prove que V=S_{1} \oplus S_{2}.
(iii) Considere os seguintes subespaços de V :
U=\left\{\left(a_{i j}\right) \in V \mid a_{i j}=0, i>j\right\}, \quad T=\left\{\left(b_{i j}\right) \in V \mid b_{i j}=0, i<j\right\} .
Ache a dimensão de U, de T, de U+T e de U \cap T.

Passo 1

O enunciado trabalha em V = M_{2}(\mathbb{R}) e pede três coisas: (i) mostrar que
S_{1} = \{A\in V \mid A = A^{t}\} \quad\text{e}\quad S_{2} = \{A\in V \mid A = -A^{t}\}
são subespaços; (ii) provar que V = S_{1}\oplus S_{2}; (iii) para
U = \{(a_{ij})\in V\mid a_{ij}=0\text{ se }i>j\}, \quad T = \{(b_{ij})\in V\mid b_{ij}=0\text{ se }i<j\},
calcular \dim U, \dim T, \dim(U+T) e \dim(U\cap T). Vamos usar teoria de subespaços, soma direta e dimensões.

Passo 2

Para (i) basta verificar para cada conjunto que contém a matriz zero, é fechado sob soma e produto por escalar.
  1. Em S_{1}, a matriz zero é simétrica; se A e B satisfazem A=A^{t} e B=B^{t}, então
(A+B)^{t} = A^{t} + B^{t} = A + B,
e para \lambda\in\mathbb{R}
(\lambda A)^{t} = \lambda A^{t} = \lambda A.
Logo S_{1} é subespaço.
2. Em S_{2}, a matriz zero satisfaz 0=-0^{t}; se A=-A^{t} e B=-B^{t},
(A+B)^{t} = A^{t} + B^{t} = -A + (-B) = -(A+B),
e
(\lambda A)^{t} = \lambda A^{t} = \lambda(-A) = -(\lambda A).
Logo S_{2} é subespaço.

Passo 3

Para (ii) mostramos primeiro que todo A\in V se decompõe em simétrica mais antissimétrica:
A = \frac{A + A^{t}}{2} + \frac{A - A^{t}}{2},
onde \tfrac{A + A^{t}}{2}\in S_{1} e \tfrac{A - A^{t}}{2}\in S_{2}. Assim V = S_{1}+S_{2}.
Para checar soma direta, vemos a interseção: se A\in S_{1}\cap S_{2} então A=A^{t} e A=-A^{t}, logo A=-A e 2A=0 implica A=0. Portanto S_{1}\cap S_{2}=\{0\} e concluímos V=S_{1}\oplus S_{2}.

Passo 4

Para (iii), caracterizamos bases naturais:
  • Em U (triangulares superiores) só podem ser não nulos a_{11},a_{12},a_{22}. Uma base é
E_{11},\;E_{12},\;E_{22},
logo \dim U=3.
  • Em T (triangulares inferiores) só podem ser não nulos b_{11},b_{21},b_{22}. Uma base é
E_{11},\;E_{21},\;E_{22},
logo \dim T=3.
  • A interseção U\cap T são as matrizes que são simultaneamente triangulares superior e inferior, ou seja, diagonais. Uma base é
E_{11},\;E_{22},
logo \dim(U\cap T)=2.
  • A soma U+T consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como soma de uma triangular superior e uma inferior. Mas em M_{2}(\mathbb{R}) toda matriz 2\times 2 se escreve assim, então U+T = V, de dimensão 4. Alternativamente, pela fórmula de Grassmann:
\dim(U+T) = \dim U + \dim T - \dim(U\cap T) = 3 + 3 - 2 = 4.

Resposta

\dim U = 3 \dim T = 3 \dim(U+T) = 4 \dim(U\cap T) = 2

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