- Seja
a função energia potencial associada ao campo
.
a) Determine
.
b) Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição
com velocidade nula. Admita que
é a única força atuando sobre a partícula. Determine a posição
da partícula no instante
. Desenhe a trajetória descrita pela partícula.
a) Determine
b) Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição
Passo 1
O enunciado dá a função energia potencial
e faz duas perguntas:
- (a) Determinar o campo de forças
associado a essa energia potencial. - (b) Uma partícula de massa
é abandonada em com velocidade nula e a única força atuante é . Determinar a posição da partícula no tempo e desenhar a trajetória descrita.
Informações relevantes dadas:
massa
, posição inicial
, velocidade inicial
, e
é a única força agindo.
Passo 2
Conceito importante: relação entre energia potencial e força. Se uma força
é conservativa e tem energia potencial
, então
onde
é o gradiente de
. O gradiente em coordenadas cartesianas é
Aqui cada derivada parcial significa:
é a taxa de variação de
quando só variamos
mantendo
fixo, e similar para
. Esse resultado vem da definição de trabalho de uma força conservativa e da propriedade de potenciais.
Vamos aplicar isso ao nosso
.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
:
Portanto o gradiente é
Aplicando
obtemos
Isso responde a parte (a). No exame basta lembrar da fórmula
e calcular as parciais.
Passo 4
Agora a parte (b): usar a segunda lei de Newton. Para massa
temos
Escrevendo
e usando
obtemos o sistema desacoplado de equações ordinárias:
com condições iniciais
Explico o que significa cada coisa:
é a aceleração da coordenada
; a equação é linear homogênea com coeficientes constantes — tipo muito comum e fácil de resolver.
Passo 5
Resolver a equação para
. É uma equação da forma
Método: assumir solução da forma
, obter a equação característica
que tem raízes
. Isso indica soluções senoidais. A solução geral é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Usando
dá
. A derivada é
, então
implica
. Logo
Observação prática para prova: sempre escreva a solução geral e imponha as condições iniciais para achar as constantes; aqui ficou bem simples.
Passo 6
Resolver a equação para
. É
Usando o mesmo método, a solução geral é
Condições iniciais:
dá
. A derivada
e
. Logo
Passo 7
Juntando as duas componentes, a posição da partícula é
Algumas observações didáticas úteis para a prova e para entender a trajetória:
- As equações são independentes e resultaram em oscilações harmônicas simples:
oscila com frequência angular e com frequência angular . - A trajetória no plano é uma curva de Lissajous com razão de frequências
. Como tem período e tem período , o movimento geral se repete com período (mínimo múltiplo comum). - Condição inicial de velocidade nula faz a partícula começar no ponto
em repouso e, inicialmente, a aceleração é , então no começo ela tende a se mover para o quarto quadrante (reduzindo ambas as coordenadas). - Se for pedir desenhar: você pode esboçar alguns pontos no tempo
etc. Por exemplo: Ligando esses pontos seguindo a parametrização obtém-se o padrão de Lissajous (uma curva fechada com duas “lacinhas” quando desenhada). - Verificação por energia (checar se quiser): energia total
com . Inicialmente e , logo e essa energia se conserva ao longo do movimento — isso serve como checagem.
Resposta
(a)
(b)
(b)