1. Dada a matriz B=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 3 \\\\ 4 & 0 & 2\end{array}\right], calcule o cofator b_{23}^{\prime} \mathrm{e} \mathrm{o} \operatorname{det}(B) pela primeira linha.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & 3 \\[4pt] 4 & 0 & 2\end{array}\right]
e pede duas coisas:
  • calcular o cofator b_{23}^{\prime} (isto é, o cofator associado ao elemento da 2ª linha e 3ª coluna);
  • calcular \operatorname{det}(B) usando a expansão pela primeira linha.
As entradas relevantes que vou usar são os elementos da primeira linha b_{11}=2, b_{12}=1, b_{13}=0 e também os elementos necessários para formar os menores quando eu eliminar linhas/colunas.]

Passo 2

Primeiro, lembrar as definições (passo didático):
  • O menor M_{ij} é o determinante da submatriz obtida ao retirar a i-ésima linha e a j-ésima coluna de B.
  • O cofator C_{ij} (aqui escrito b_{ij}^{\prime}) é dado por
C_{ij}=b_{ij}^{\prime}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • Para uma matriz 3\times3, o determinante pode ser calculado pela expansão (regra de Laplace) ao longo da primeira linha:
\operatorname{det}(B)=b_{11}C_{11}+b_{12}C_{12}+b_{13}C_{13}.
Também vai ser útil a fórmula do determinante de uma 2\times2:
\det\begin{pmatrix}a & b \\[2pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.]

Passo 3

Calcular o menor M_{23} (remover 2ª linha e 3ª coluna). A submatriz resultante é
\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\[4pt] 4 & 0\end{array}\right].
Agora aplicar a fórmula do 2\times2:
M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[2pt] 4 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-1\cdot4=0-4=-4.]

Passo 4

Agora o cofator b_{23}^{\prime}=C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}. Calculando o sinal e multiplicando:
(-1)^{2+3}=(-1)^5=-1, \qquad C_{23}=-1\cdot(-4)=4.
Portanto b_{23}^{\prime}=4.

Passo 5

Vamos calcular \operatorname{det}(B) pela primeira linha usando
\operatorname{det}(B)=b_{11}C_{11}+b_{12}C_{12}+b_{13}C_{13}.
Lembre que b_{11}=2, b_{12}=1, b_{13}=0. Vou calcular os cofatores C_{11},C_{12},C_{13}.

Passo 6

Calcular M_{11} (remover 1ª linha e 1ª coluna). A submatriz é
\left[\begin{array}{cc}-1 & 3 \\[4pt] 0 & 2\end{array}\right].
Determinante:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot2-3\cdot0=-2-0=-2.
Sinal para o cofator: (-1)^{1+1}=+1. Então
C_{11}=+1\cdot M_{11}=-2.]

Passo 7

Calcular M_{12} (remover 1ª linha e 2ª coluna). A submatriz é
\left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\[4pt] 4 & 2\end{array}\right].
Determinante:
M_{12}=\det\begin{pmatrix}0 & 3 \\[2pt] 4 & 2\end{pmatrix}=0\cdot2-3\cdot4=0-12=-12.
Sinal para o cofator: (-1)^{1+2}=(-1). Então
C_{12}=(-1)\cdot(-12)=12.]

Passo 8

Opcional mas completo: calcular M_{13} (remover 1ª linha e 3ª coluna). A submatriz é
\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\[4pt] 4 & 0\end{array}\right].
Determinante:
M_{13}=\det\begin{pmatrix}0 & -1 \\[2pt] 4 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-(-1)\cdot4=0+4=4.
Sinal para o cofator: (-1)^{1+3}=+1. Então
C_{13}=+1\cdot4=4.
Observação: como b_{13}=0, o termo b_{13}C_{13} não contribui para o determinante, mas é bom conhecer C_{13}.]

Passo 9

Agora montar a expansão pela primeira linha:
\operatorname{det}(B)=b_{11}C_{11}+b_{12}C_{12}+b_{13}C_{13}.
Substituindo os valores:
\operatorname{det}(B)=2\cdot(-2)+1\cdot12+0\cdot4=-4+12+0=8.

Passo 10

Resumo final dos cálculos feitos: o cofator b_{23}^{\prime} ficou igual a 4 e o determinante \operatorname{det}(B) calculado pela primeira linha é 8.

Resposta

b_{23}^{\prime}=4
\operatorname{det}(B)=8

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